Обсуждение:Ab ovo или Ab hoc et ab hac

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск

Содержание

Вместо аннотации

Предлагаю снабдить статью следующей аннотацией.

Показано, что метод Лагранжа, лежащий в основе теоретической механики, неприменим даже к простейшим задачам механики.

Работа не обращена к консерваторам, изучавшим курс теоретической физики (или хотя бы теоретической механики в объеме односеместрового курса) и знающим, что в уравнение Лагранжа входят частные производные от функции Лагранжа по координатам (силы) и по скоростям (импульсы). Она адресована к новаторам, употребляющим исключительно "взаимозависимые" полные дифференциалы вместо частных производных в методе Лагранжа.

Лагранжев метод для осциллятора

А что касается претензии к Ландау и Лифшицу:

Ландау и Лифшиц сообщают читателям, что функция Лагранжа для осциллятора у них получилась в виде

L(v,x,t) = mv2 / 2 − kx2 / 2 + xF(t).

Конечно, никто и не подумал «уличать в неправде» авторов пособия, потому что они тут же, опуская предусмотренные методологией выкладки с преобразованием функции Лагранжа в уравнение движения (покажи они эти выкладки, это сейчас же выдало бы их с головой!), привели уравнение движения в готовом виде.

-так это несерьезно. "Предусмотренные методологией выкладки" здесь следующие: импульс, то есть частная производная по скорости при постоянных времени и координате, равен \frac{\partial L(v,x,t)}{\partial v} = mv. Сила, то есть частная производная по координате при постоянных времени и скорости, равна \frac{\partial L(v,x,t)}{\partial x} = - kx + F(t). Отсюда следует уравнение движения: \frac{d(mv)}{dt} = - kx +F(t).

Тем самым опровергнуто основное утверждение статьи: якобы неприменимый метод Лагранжа с успехом применен к задаче о вынужденных колебаниях гармонического осциллятора. Во избежание недоразумений вычислим еще одну, не используемые в методе Лагранжа, но используемую ниже частную производную от функции Лагранжа по времени при постоянных скорости и координате.

\frac{\partial L(v,x,t)}{\partial t} = x\frac{dF(t)}{dt}

(1)

Энергетический баланс для осциллятора

Неверны также и второстепенные выводы. Представления Автора об энергетическом балансе открытой системы осложнены непониманием того, что в системе с явной зависящей от времени энергией - функцией Гамильтона,

H= v\frac{\partial L}{\partial v}-L=mv^2/2 + kx^2/2 - xF(t),

(2)

энергия отнюдь не является сохраняющейся величиной. Вообще, расчет энергетическиго баланса системы, уравнение движения которой (хочет этого участник Петров или не хочет), является уравнением Лагранжа (или во всяком случае эквивалентно таковому) осуществляется в два этапа. Вначале (А) уравнение движение (или две или три компоненты векторного уравнения движения) домножается на скорость (или векторное уравнение движения скалярно умножается на вектор скорости). Результат умножения, хочет этого участник Петров или не хочет, может быть вычислен в самом общем виде - см главу 40 из цитированной книги Ландау и Лифшица - и дается уравнением (40,5) из этой книги:

\frac{dH}{dt}- \frac{\partial H}{\partial t}=0.

(3)

Частная производная по времени от функции Гамильтона может быть вычислена с помощью (1,2), что позволяет привести (3) к виду:

\frac{dH}{dt}= -x\frac{dF(t)}{dt}  .

(4)

и мы видим, что, как и утверждалось, для системы с явно зависящей от времени функцией Гамильтона, последняя не сохраняется, так как правая часть (4) не равна нулю для зависящей от времени вынуждающей силы.

Разумеется справедливо и любое эквивалентное (3) с точностью до тождественных преобразований соотношение. В частности, если следовать принятому в элементарных курсах механики определению энергии без учета члена xF(t), то вместо (4) мы могли бы прийти к столь же известному в элементарной физике выражению для скорости изменения энергии системы, равной работе внешней силы за единицу времени:

\frac{d\left(mv^2/2 + kx^2/2\right)}{dt}=\frac{dH}{dt}+ \frac{ d(xF(t))}{d t}=\frac{ d(xF(t))}{d t}- x\frac{dF(t)}{dt}=F(t)\frac{ dx }{d t}.

Последнее, разумеется, ничуть не противоречит иному, принятому, в теоретической механике, выражению и способу конструирования функций Лагранжа и Гамильтона (включащим вынуждающую силу), а равно специфическому для теормеханики уравнению (3) для эволюции явно зависящей от времени функции Гамильтона.

В качестве второго этапа (Б) вывода энергетического баланса можно проинтегрировать по времени (а можно и не интегрировать, ограничившись дифференциальной формой энергетического баланса) полученное в пункте (А) соотношение (3). Комбинация этапов (А) и (Б), т.е. умножение на скорость, \cdot\vec{v}=\frac{d\vec{x}}{dt}, и интегрирование по dt, в принципе эквиваленто интегрированию по \cdot d\vec{x}. Из (4) получается выражение для изменения функции Гамильтона на конечном интервале времени, равное, в данном случае, следующему интегралу:

H(t_2)-H(t_1)= -\int_{t_1}^{t_2}{x(t)\frac{dF(t)}{dt}dt}.

(5)

Разумеется, опять не запрещены тождественные преобразования соотношения (5). В частности, беря по частям интеграл в правой части (5), можно получить выражение для приращения редуцированной функции Гамильтона, из которой исключена зависящая от времени часть, xF(t), через работу внешних сил.

Минимальность действия

В заключение отреагируем на (редкое по нахальству) требование обсуждаемой статьи, чтобы некоторый другой автор (я) выполнил за Автора статьи какие-то выкладки - а именно, доказал для данного случая минимальность действия на физической траектории. Опуская элементарные преобразования, вычислим точную вариацию действия, квадратичную по вариациям координаты и скорости:

\delta S=\frac12 \int^{t_2}_{t_1} { \left[m \left ( \frac{d\delta x }{ dt} \right)^2 - k \left( \delta x\right)^2  \right]dt }

Обращающуюся в ноль на границах вариацию координаты без ограничения общности можно разложить в ряд Фурье по синусоидальным функциям:

\delta x=\sum_{n=1}^{\infty}{\delta x_n\sin\left(\frac{\pi n  (t-t_1)}{t_2-t_1} \right) }

Если интервал интегрирования не слишком длительный, а именно,  (t_2-t_1)<\pi\sqrt{m/k} , то положительный вклад в интеграл от квадрата производной для каждой из быстро осциллирующей Фурье-гармоник превосходит по величине отрицательный вклад от квадрата амплитуды гармоники:


\delta S=
\frac{t_2-t_1}4
\sum_{n=1}^{\infty}{\left\{\left ( \delta x_n\right)^2 
\left[ m \frac{\pi^2 n^2}{(t_2-t_1)^2}  - k  \right]\right\}  }>0.

Тем самым обращающаяся в ноль на физическое траектории вариация действия меньше положительного значения вариции действия на любой виртуальной траектории. Минимальность действия доказана.

yakiniku

Личные инструменты