Обсуждение:Кеплерова задача – критерий качества точных наук

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск

Работа грубо ошибочна. Неверны как общие рассуждения касательно невыполнения закона сохранения энергии при решении задачи Кеплера с помощью комплексных функций, так и конкретное полученное решение этой задачи.

Законы сохранения в комплексной форме

Покажем, что при правильном решении задачи Кеплера с помощью комплексных функций общеизвестные (но оспариваемые Автором) законы сохранения, разумеется, справедливы. Если движение планеты происходит в плоскости y,z с выбором начала координат в центре притяжения, то введение комплексной переменной X = y + iz позволяет записать уравнение движения планеты в любой из следуюших форм (точка - дифференцирование по времени, звездочка знак комплексного сопряжения):

\ddot{X} = -\frac{(\alpha/m)X}{r^3}

(1)

X^*\ddot{X} = -\frac{(\alpha/m)}{r}

(2)

где действительные \alpha=GMm,\,m,\,r=\sqrt{XX^*} - константа притяжения, масса планеты и ее расстояние до притягиваюшего центра соответственно. Поскольку мнимая часть (обозначенная в формулах как Im) (2) равна нулю и мнимая часть величины \dot{X}^*\dot{X} также равна нулю, легко можно получить закон сохранения момента импульса в виде:

Im\left(X^*\dot{X}\right) =const

(3)

А домножая (1) на \dot{X}^*, а комплексно сопряженное ему уравнение на \dot{X}, можно прийти, проинтегрировав их сумму, к следующей форме закона сохранения энергии:

m\dot{X}^*\dot{X}/2  -\frac{\alpha}{r}=const

(4)

причем система уравнений (3,4) вполне достаточна для решения задачи. Более того, подстановка X=r\,\exp(i\varphi) сводит уравнения (3,4) к уравнениям (14,2), (14,4) из цитированной книги Ландау-Лифшица, после чего их решение не может не совпадать с общеизвестным. В связи со сказанным по меньшей мере непонятен тот факт, что Автор противопоставляет аппарат комплексных чисел не только конкретной книге Ландау-Лифшица, но даже закону сохранения сохранения энергии. Видно, что и в представлении комплексной плоскости все общеизвественные для задачи Кеплера результаты по меньшей мере могут быть воспроизведены.

Полученная Автором траектория движения не является эллиптической

Приведем элементарное доказательство того, что полученная Автором траектория движения даже не является эллиптической! Из уравнения конического сечения, p/r=1+e\cos(\varphi) нетрудно получить следуюшее его характеристическое свойство. Если направить ось y Декартовой системы координат (она же действительная ось комплексной плоскости X = y + iz) от афелия к перигелию, то значения обратного расстояния в точках пересечения с этой осью (то есть в перигелии и афелии) суть: 1/r=(1\pm e)/p (косинус полярного угла равен плюс и минус единице). Их среднее арифметическое равно 1/p . При этом вторая ось z Декартовой системы координат (она же мнимая ось комплексной плоскости) пересекается эллипсом в точках, в которых косинус обращается в ноль, так что значение 1/r в точках пересечения с мнимой осью равно среднему арифметическому значений этой величины в афелии и перегелии.

Нетрудно видеть, что это свойство грубо нарушается в полученном в работе решении


x=\frac1p\exp(iV\tau)+\frac{e}p

(5)

(см заключительные формулы в критикуемой работе). В точках перигелия и афелия (то есть при \cos(V\tau)=\pm1) как и требуется, модуль x (с учетом принятых в работе предположений это и есть 1/r) равен 1/r=(1\pm e)/p. Однако пересечение с мнимой осью определяется условием обращения действительной части x в ноль, что достигается при cos(Vτ) = − e. Значение модуля x или, что то же самое 1/r в этих точках равно:

1/r=|Im(x)|=(1/p)|\sin(V\tau)|=(1/p)\sqrt{1-\cos^2(V\tau)}=\sqrt{[(1-e)/p][(1+e)/p]}

то есть равно среднему геометрическому от значений этой величины в афелии и перигелии. По правилам школьной алгебры, среднее геометрическое меньше среднего арифметического , за исключением случая равенства усредняемых. Тем самым, ни к каком случае, за исключением тривиального кругового вращения (e=0), полученная Автором траектория не является коническим сечением.

Неопределенность периода вращения

Окончательное решение задачи (см (5)) приведено Автором в виде периодических функций от Vτ, V=const а τ = t / r есть обобщенное время. При изменении Vτ на или, что то же самое при изменении τ на 2π / V решение возвращается в ту же точку. В частности, если в какой-то момент времени планета находилась в афелии, то при изменении τ на Δτ = 2π / V планета опять будет находиться в афелии, а если в какой-то другой момент времени планета находилась в перигелии, то при изменении τ на Δτ = 2π / V по отношении к этому другому моменту времени планеты опять будет находиться в перигелии.

Поразительным свойством полученного в критикуемой работе решения, окончательно доказывающего его абсурдность, является то, что в физическом времени период вращения оказывается различным в случаях, когда период определяется как интервал физического времени между последовательными моментами афелия и или как интервал между последовательными моментами перигелия! В первом случае нтервал времени между моментами афелия равен Δt = rAΔτ = rA2π / V , где rA = p / (1 − e) это расстояние от точки афелия. А период обращения планеты вокруг Солнца, понимаемый как интервал времени между моментами перигелия, равен Δt = rPΔτ = rP2π / V , где rP = p / (1 + e) это расстояние от точки перигелия до притягивающего центра, которое для какой-нибудь кометы может быть раз в сто с половиной короче, чем rA = p / (1 − e). То есть, согласно полученному в работе абсурдному решению, какая-нибудь комета Галлея за время путешествия от афелия до афелия успевает сто с половиной раз проскочить через точку перигелия.

Личные инструменты