Лучшие спа-отели крыма: кенеш тур отели и гостиницы крыма 2016 лучшие.

Новый способ получения волнового уравнения

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск
Федор Федорович Менде
Дата рождения:

02.07.1939 г.

Гражданство:

Флаг СССРФлаг Украины

Учёная степень:

доктор технических наук

Сайт:

http://fmnauka.narod.ru/ http://bolshoyforum.org/forum/index.php?board=50.0

До сих пор в электродинамике и радиотехнике было известно только два способа вывода волнового уравнения. Первый основан на использовании уравнений Максвелла, второй - телеграфных уравнений. Как в том, так и в другом случае для записи волновых уравнений необходимо знание вторых производных по времени и координате электрических и магнитных полей, если речь идёт о свободном пространстве, или таких же производных напряжений и токов, если речь идёт о длинных линиях. Но как быть, если, например, эти производные равны нулю? Ответа на этот вопрос ранее не было.

Процессы, рассмотренные в § 10-12 работы http://fmnauka.narod.ru/Pro1.pdf, касаются цепей с сосредоточенными параметрами, когда распределение разностей потенциалов и токов в рассмотренных элементах можно считать однородным. Однако имеются цепи, например длинные линии, в которых разности потенциалов и токи не являются пространственно однородными. Эти процессы описываются волновыми уравнениями, которые могут быть получены из уравнений Максвелла или при помощи телеграфных уравнений, но физика самого явления нам не ясна.

Воспользуемся результатами, полученными в указанных параграфах для рассмотрения процессов, происходящих в длинных линиях, в которых емкость и индуктивность являются распределенными параметрами. Предположим, что погонная (приходящаяся на единицу длины) емкость и индуктивность такой линии составляют соответственно Файл:Новвый способ001.gif и Файл:Новвый способ002.gif. Если к такой линии подключить источник постоянного напряжения Файл:Новвый способ003.gif, то фронт этого напряжения будет распространяться в линии с какой-то скоростью Файл:Новвый способ004.gif, и текущая координата этого фронта определится соотношением Файл:Новвый способ005.gif. При этом суммарная величина заряженной ёмкости и величина суммарной индуктивности, по которой протекает ток, отсчитываемые от начала линии до места нахождения фронта напряжения, будут изменяться по закону:

Файл:Новвый способ006.gif

Файл:Новвый способ007.gif

Источник напряжения Файл:Новвый способ003.gif будет при этом заряжать увеличивающуюся емкость линии, для чего от источника к заряжаемой линии в соответствии с соотношением должен течь ток:

Файл:Новвый способ008.gif

(1) Этот ток будет протекать через проводники линии, обладающие индуктивностью. Но, поскольку индуктивность линии в связи с движением фронта напряжения, тоже увеличивается, на ней будет наблюдаться падение напряжения:

Файл:Новвый способ009.gif

Но падение напряжения на проводниках линии по абсолютной величине равно напряжению, приложенному к её входу, поэтому в последнем выражении следует допустить, что Файл:Новвый способ010.gif. С учетом этого сразу находим, что скорость движения фронта напряжения при заданных погонных параметрах и при наличии на входе линии постоянного напряжения Файл:Новвый способ003.gif должна составлять

Файл:Новвый способ011.gif

(2)

Это выражение соответствует скорости распространения электромагнитных колебаний в самой линии. Следовательно, если к бесконечно длинной линии подключить источник напряжения, то в ней будет иметь место саморасширение и ёмкостного и индуктивного потоков, заполняющих линию энергией, и скорость фронта постоянного напряжения и тока будет равна скорости распространения электромагнитных колебаний в такой линии. Такую волну будем называть электротоковой. Интересно отметить, что полученный результат не зависит от вида функции Файл:Новвый способ012.gif, т.е. к линии может быть подключен как источник постоянного напряжения, так и источник, напряжение которого меняется по любому закону. Во всех этих случаях величина локального значения напряжения на входе линии будет распространяться вдоль неё со скоростью описываемой соотношением (2). Этот результат мог быть до сих пор получен только путём решения волнового уравнения, но в данном случае он указывает на физическую причину такого распространения, и даёт физическую картину самого процесса. Он показывает, что сам процесс распространения связан с энергетическими процессами заполнения линии ёмкостной и индуктивной энергией. Этот процесс происходит таким образом, что фронт волны, распространяясь со скоростью Файл:Новвый способ004.gif, оставляет за собой линию, заряженную до разности потенциалов Файл:Новвый способ003.gif, что соответствует заполнению линии электростатической энергией электрического поля. На участке же линии от источника напряжения и до фронта волны течет ток Файл:Новвый способ013.gif, что соответствует заполнению линии на этом участке энергией, которая связана с движением зарядов по проводникам линии, обладающих индуктивностью.

Величину тока в линии можно получить, подставив значения скорости распространения фронта волны, определяемого соотношением (2), в соотношение (1).

Сделав эту подстановку, получим

Файл:Новвый способ014.gif

где Файл:Новвый способ015.gif - волновое сопротивление линии.

В данном случае

Файл:Новвый способ016.gif

Так точно

Файл:Новвый способ017.gif

Видно, что правила потока и для индуктивной и для ёмкостной самоиндукции соблюдаются и в этом случае.

Таким образом, процессы распространения разности потенциалов вдоль проводников длинной линии и постоянного тока в ней являются связанными и взаимно дополняющими друг друга, и существовать друг без друга не могут. Такой процесс можно называть ёмкостно-индуктивной самопроизвольной параметрической самоиндукцией. Такое название связано с тем, что расширение потоков происходят самопроизвольно и характеризуют скорость процесса заполнения линии энергией. Из выше изложенного становится понятной связь между энергетическими процессами и скоростью распространения фронтов волны в длинных линиях. Поскольку при излучении электромагнитных волн свободное пространство тоже является передающей линией, то подобные законы должны характеризовать и распространение в таком пространстве.

Что будет, например, в том случае, если в качестве одного из проводников длинной линии взять спираль, или как это принято называть, длинный соленоид. Очевидно, в этом случае скорость распространения фронта напряжения в такой линии уменьшится, поскольку погонная индуктивность линии увеличится. При этом такому распространению будет сопутствовать процесс распространения не только внешних, по отношению к соленоиду полей и токов, но и процесс распространения магнитного потока внутри самого соленоида и скорость распространения такого потока будет равна скорости распространения электромагнитной волны в самой линии.

Зная ток и напряжение в линии, можно вычислить удельную энергию, заключенную в погонной ёмкости и индуктивности линии. Эти энергии будут определяться соотношениями:

Файл:Новвый способ018.gif

(3)

Файл:Новвый способ019.gif

(4)

Нетрудно видеть, что Файл:Новвый способ020.gif.

Теперь обсудим вопрос о длительности фронта электротоковой волны и о том, какое пространство этот фронт будет занимать в самой линии. Ответ на первый вопрос определяется свойствами самого источника напряжения, т.к. локальная производная Файл:Новвый способ021.gif на входе линии зависит от переходных процессов в самом источнике и в том устройстве, при помощи которого такой источник подключается к линии. Если процесс установления напряжения на входе линии будет длиться какое-то время Файл:Новвый способ022.gif , то в линии он займет участок длиной Файл:Новвый способ023.gif . Если к линии приложить напряжение, меняющееся со временем по закону Файл:Новвый способ024.gif , то это же значение функции будет наблюдаться в любой точке линии на расстоянии Файл:Новвый способ025.gif от ее начала с запаздыванием Файл:Новвый способ026.gif.

Таким образом, функция

Файл:Новвый способ027.gif

(5)

может быть названа функцией распространения, т.к. она устанавливает связь между локальными временными и пространственными значениями функции в линии. Длинная линия является устройством, которое локальные производные напряжения по времени на входе линии превращает в пространственные производные в самой линии. На основании функции распространения (5) можно установить связь между локальными и пространственными производными в длинной линии. Очевидно, что

Файл:Новвый способ028.gif

Важно отметить, что сам процесс распространения в данном случае обязан естественному саморасширению электрического поля и тока в линии, и он подчиняется правилам параметрической самоиндукции. Во-вторых, для решения волновых уравнений длинных линий

Файл:Новвый способ029.gif

(6)

полученных из телеграфных уравнений

Файл:Новвый способ030.gif

требуется знание вторых производных напряжений и токов.

Но как быть, если на вход линии подаётся напряжение, у которого вторая производная равна нулю (случай, когда напряжение источника меняется по линейному закону)? Ответа на этот вопрос уравнения (6) не дают. Используемый метод даёт простой ответ на такой вопрос. При рассмотрении процессов в длинной линии фигурировали такие понятия как погонная емкость и индуктивность, а также токи и напряжения в линии. Однако в электродинамике, основанной на уравнениях Максвелла, нет таких понятий как емкость и индуктивность, а есть понятия электрической и магнитной проницаемости среды. В проведенном рассмотрении также отсутствовали такие понятия как электрические и магнитные поля. Покажем, как перейти от таких категорий как «погонная индуктивность и ёмкость», и «ток» и «напряжение» в линии к таким понятиям как «диэлектрическая и магнитная проницаемость», а также «электрическое и магнитное поле». Для этого возьмем простейшую конструкцию линии, расположенную в вакууме, как показано на рис. 1.

Файл:Новвый способ031.gif

Рис. 1 Двухпроводная линия, состоящая из двух идеально проводящих плоскостей

Будем считать, что Файл:Новвый способ032.gif >>Файл:Новвый способ033.gif и краевые эффекты можно не учитывать. Тогда между погонными параметрами линии и магнитной и диэлектрической проницаемостями будет существовать следующая связь:

Файл:Новвый способ034.gif

(7)

Файл:Новвый способ035.gif

(8)

где Файл:Новвый способ036.gif и Файл:Новвый способ037.gif - магнитная и диэлектрическая проницаемость вакуума. Фазовая скорость в такой линии будет определяться соотношением:

Файл:Новвый способ038.gif

где Файл:Новвый способ039.gif - скорость распространения света в вакууме.

Волновое сопротивление рассмотренной линии будет равно:

Файл:Новвый способ040.gif

где Файл:Новвый способ041.gif - волновое сопротивление свободного пространства.

Кроме этого при соблюдении условия Файл:Новвый способ042.gif получаем равенство Файл:Новвый способ043.gif. Это означает, что магнитная проницаемость Файл:Новвый способ036.gif играет роль продольной удельной индуктивности вакуума. В этом случае соблюдается также равенство Файл:Новвый способ044.gif. Это означает, что диэлектрическая проницаемость Файл:Новвый способ037.gif играет роль поперечной удельной ёмкости вакуума. В такой интерпретации и Файл:Новвый способ036.gif, и Файл:Новвый способ037.gif приобретают ясный физический смысл и, так же как в длинной линии, обеспечивают процесс распространения электромагнитной волны в свободном пространстве.

Рассмотрение электромагнитной волны в длинной линии можно рассматривать как заполнение пространства, находящегося между её проводниками, особым видом материи, которую представляют электрические и магнитные поля. Математически можно считать, что эти поля сами обладают удельной энергией и при их помощи можно передавать энергию по линиям передач. Если же рассматривать процессы, протекающие при излучении электромагнитных волн при помощи какой-либо антенны, то его можно рассматривать также как заполнение свободного пространства этим видом материи. Однако геометрический вид полей и токов в этом случае будет сложнее, поскольку всегда будут присутствовать как поперечные, так и продольные составляющие полей. Такой подход исключает необходимость применения, для описания распространения электромагнитных волн, такой субстанции как эфир.

Если к рассмотренной линии бесконечной длины, или линии нагруженной волновым сопротивлением, подключить источник постоянного напряжения Файл:Новвый способ012.gif, то напряженность поля в линии составит:

Файл:Новвый способ045.gif

а ток, текущий в линию от источника питания, будет определяться соотношением:

Файл:Новвый способ046.gif

(9)

Магнитное поле в линии будет равно удельному току, протекающему в линии Файл:Новвый способ047.gif. Подставляя сюда значение Файл:Новвый способ048.gif, получаем

Файл:Новвый способ049.gif

(10)

Такая же связь между электрическим и магнитным полем существует и для случая поперечных электромагнитных волн, распространяющихся в свободном пространстве.

Сравнивая выражения для энергий, нетрудно видеть, что удельные энергии могут быть выражены через электрические и магнитные поля

Файл:Новвый способ050.gif

(11)

Это означает, что удельная энергия, накопленная в магнитном и электрическом поле в такой линии одинакова. Если значения этих энергий умножить на объемы, занимаемые полями, то полученные величины совпадают с выражениями (3,4).

Таким образом, приходим к выводу, что в рассмотренной линии распространяются такие же поперечные плоские волны, как и в свободном пространстве. Причем этот вывод получен не путём решения уравнений Максвелла, а путём рассмотрения динамических процессов, которые отнесены к разряду параметрической самоиндукции. Особенностью такой линии будет то, что в ней, в отличие от свободного пространства, могут распространяться постоянные магнитные и электрические поля, а этот случай не может быть рассмотрен путем решения уравнений Максвелла.

Следовательно, условно можно считать, что длинная линия является устройством, которое при подключении к ней источника постоянного напряжения заполняется двумя видами энергии: электрической и магнитной. Удельные плотности этих энергий равны, а поскольку и электрическая и магнитная энергии заполняют одинаковые объемы, то и общая энергия, накопленная в этих полях одинакова. Особенностью данной линии является то, что при протекании в линии постоянного тока распределение электрического и магнитного полей в ней является однородным. Нетрудно показать, что сила, действующая на проводники такой линии, равна нулю. Это следует из соотношения (11), в котором его правая и левая части представляют удельные силы, приложенные к плоскостям линии. Но электрическая и магнитная силы имеют разные знаки, поэтому они компенсируют друг друга. Этот вывод касается и передающих линий любой другой конфигурации.

Если к линии приложить напряжение, меняющееся со временем по любому законуФайл:Новвый способ051.gif, то по аналогии с (5) можно записать

Файл:Новвый способ052.gif

(12)

Аналогичное соотношение будет и для магнитных полей.

Очевидно, что произведение Файл:Новвый способ053.gif представляет мощность Файл:Новвый способ054.gif, передаваемую через поперечное сечение линии в направлении Файл:Новвый способ048.gif. Если в этом соотношении ток и напряжение заменить через напряженности магнитного и электрического полей, то получим Файл:Новвый способ055.gif. Произведение Файл:Новвый способ056.gif представляет абсолютную величину вектора Пойнтинга, представляющего удельную мощность, передаваемую через поперечное сечение линии единичной площади. Конечно, все это можно записать и в векторной форме.

Таким образом, все выводы, полученные на основании рассмотрения процессов в длинной линии двумя методами, совпадают. Поэтому и в дальнейшем, не рискуя допустить ошибки принципиального характера, можно для описания процессов в длинных линиях с успехом пользоваться такими параметрами, как распределенная индуктивность и ёмкость. Конечно, при этом следует понимать, что Файл:Новвый способ001.gif и Файл:Новвый способ002.gif это некоторые интегральные характеристики, не учитывающие структуру полей.

Следует отметить, что с практической точки зрения, применение параметров Файл:Новвый способ001.gif и Файл:Новвый способ002.gif имеет важное значение, т.к. могут быть приближенно решены задачи, которые при помощи уравнений Максвелла решить нельзя. Это, например, случай, когда проводниками передающей линии являются спирали.

Личные инструменты