К аналитическому решению Кеплеровой задачи

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск
Петров Анатолий Михайлович
Дата рождения:

07.09.1937 г.

Место рождения:

г. Псков

Гражданство:

РФФлаг СССРФлаг России

Учёная степень:

кандидат технических наук

Учёное звание:

старший научный сотрудник

Альма-матер:

Военная академия ракетных войск стратегического назначения имени Петра Великого

Научный руководитель:

Лауреат Ленинской премии, д-р физ.мат. наук, профессор Б.М.Левитан

Награды и премии


Государственная премия СССР (1975)

Применение комплексных чисел в качестве алгебры с векторным делением даёт возможность решать динамические задачи по анализу движений на плоскости, недоступные для векторно-тензорной алгебры.

Библиография: 6 названий.

Ключевые слова: Кеплерова задача, комплексные числа, конформное отображение, алгебра с векторным делением.

Содержание

Введение

В замечательной лекции на тему «Новый дискретный вариант комплексного анализа», прочитанной по программе летней школы “Современная математика” в г. Дубне 22 июля 2007 года [1], академик С.П.Новиков убедительно показал достоинства и преимущества комплексных чисел перед действительными числами.

В то же время, ввиду ограниченности регламента школы, он не стал углубляться в «болезненно чувствительный» для московской математической школы, с лузинских времён заточенной на развитие теории функций действительного переменного, аспект противостояния двух указанных систем исчисления, чётко обозначившийся в конце ХIХ века, когда одна из них, в соответствии со знаменитыми теоремам Фробениуса и Гурвица, заняла место в ряду трёх исключительных многомерных алгебр с делением и единицей (с ограничениями на число векторных измерений: два, три или семь), а другая легла в основу векторной алгебры на тензорной основе, с произвольным количеством измерений, но без операции векторного деления, а, значит, и без полноценной (обратимой) операции векторного умножения.

Последнее обстоятельство заставляет векторно-тензорную алгебру использовать аппарат частного (ковариантного или символического) дифференцирования и оперировать функционально связанными физическими величинами как линейно независимыми. Иначе говоря, векторно-тензорная алгебра, будучи не в состоянии оперировать векторами как едиными целыми, фактически редуцирует более богатые по содержанию векторные соотношения динамических процессов в совокупности их скалярных проекций на действительные оси координат. Таким образом, ныне общепринятая (и фактически ставшая безальтернативной) векторная алгебра на тензорной основе, на самом деле, оказывается псевдовекторной алгеброй.

Ограниченные возможности этой алгебры проявляют себя в применениях основанной на ней лагранжево-гамильтоновой методологии, вынужденной полагать линейно независимыми такие функционально связанные операциями дифференцирования-интегрирования величины, как текущая координата движущегося объекта и его скорость (производная по времени от той же координаты). Приведём на этот счёт конкретный пример.

Энергия (Е) классического осциллятора в режиме свободных колебаний постоянна по величине и равна сумме кинетической (К) и потенциальной (П) энергии:

Е=К+П=mv²/2+mω²x²/2=const,

где m – масса осциллятора,

v – скорость колебательного процесса,

ω – частота собственных колебаний осциллятора,

х – координата.

Отсюда видно, что величину кинетической энергии К можно выразить двумя эквивалентными функциональными зависимостями:

К=mv²/2 или К=Е–mω²x²/2.

В первом выражении для К в явном виде отсутствует координата х и, по правилу векторно-тензорной алгебры, частная производная по х должна быть равна нулю: ∂К/∂х=0.

Во втором выражении для К в явном виде отсутствует скорость v, из чего должно следовать, что: ∂К/∂v=0.

Возникает парадокс, подрывающий логическую основу лагранжево-гамильтонова формализма. Он преодолевается введением ограничения на область применимости данного математического аппарата, с использованием его только в тех случаях, когда соблюдается не только формальная (по признаку отсутствия определённого символа в математической записи), но и фактическая линейная независимость физических величин. К сожалению, адепты методологии лагранжианов-гамильтонианов о наличии такого ограничения умалчивают.

О недопустимости в теоретической физике придавать лагранжево-гамильтонову формализму универсальный характер предупреждал (опираясь на авторитет таких учёных, как Л.Эйлер, А.Пуанкаре и др.) академик В.Фок в опубликованной журналом «Успехи физических наук» рецензии на первое издание 1940 года «Механики» Л.Ландау (в соавторстве с Л.Пятигорским), где он даёт этому учебному пособию следующую оценку [2]:

«…Данная книга изобилует примерами нестрогих рассуждений. Некоторые из них приводят и к неверным выводам… На стр. 13 встречается утверждение: “принцип Гамильтона выражает собой закон движения всякой механической системы”. Это утверждение неверно, так как бывают системы неголономные и диссипативные (с трением)… В основу построения механики полагается принцип наименьшего действия (начало Гамильтона). Авторы исходят здесь из ошибочного представления, будто “при заданных внешних условиях движение вполне определяется координатами начала и конца движения”… Полагать в основу механики принцип наименьшего действия едва ли правильно, даже и независимо от того, что этот принцип применим не ко всем системам… В общем случае можно утверждать только то, что интеграл действия имеет стационарное значение в смысле равенства нулю его первой вариации… Приходится удивляться тому, как мог такой крупный учёный, каким, несомненно, является один из соавторов – проф. Ландау, написать книгу с таким большим количеством грубых ошибок… Переходя к оценке книги в целом, мы должны признать, что она авторам не удалась» (конец цитаты).

В последовавших переизданиях «Механики» Л.Ландау (начиная с 1958 года и вплоть до 5-го стереотипного издания 2001, 2004, 2007, 2010 и 2013 гг. – в соавторстве с Е.Лифшицем) высказанные рецензентом замечания были проигнорированы, очевидно, из-за принципиальной невозможности их учесть без коренного пересмотра общей концепции книги, к чему её основной автор был явно не готов. Расчёт же Ландау на то, что «авось, и так сойдёт», как ни странно, оказался верен: книга до сих пор включена в учебный процесс отечественной высшей школы с грифом «Рекомендовано Министерством образования Российской Федерации в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей университетов».

Чтобы стали понятнее серьёзность теоретических ошибок, о которых предупреждал рецензент, и их неизбежные негативные практические последствия (о Кеплеровой задаче речь сейчас не идёт), приведём характерный пример неудавшейся попытки авторов «Механики» втиснуть в узкие рамки лагранжево-гамильтонова формализма классическую задачу механики об осцилляторе.

Классическая механика, решая дифференциальное уравнение движения осциллятора в виде ньютонова баланса сил, приходит в режиме резонанса (пока диссипативные потери малы) к квадратичному во времени росту энергии осциллятора. Авторы же «Механики», стремясь привести открытую в данном случае динамическую систему к замкнутой, вводят для осциллятора функцию Лагранжа (имеющую физический смысл разности кинетической и потенциальной энергии), но вносят в неё «поправку», прибавляя к этой функции и, следовательно, вычитая из функции Гамильтона (суммы кинетической и потенциальной энергии осциллятора) физически и математически бессмысленную величину, равную произведению координаты на внешнюю силу [3; с. 83]. В итоге не только нарушается закон квадратичного во времени накопления энергии осциллятора, но и сам, искусственно привнесённый в данную задачу, принцип наименьшего действия с его рабочим аппаратом лагранжианов-гамильтонианов.

Теперь обратимся к Кеплеровой задачи, начав с рассмотрения того, как предлагается её решать в рекомендованном для студентов физических специальностей университетов учебном пособии «Механика» Ландау-Лифщица.

Лагранжево-гамильтонов формализм и Кеплерова задача

Многотомный «Курс Ландау по физике» изначально задумывался как вызов сложившейся к ХХ веку в точных науках классической традиции. Вероятно, такое намерение созрело у Ландау ещё в 1929-1931 годах, во время полуторагодовой (включая год за счёт рокфеллеровского фонда) научной командировки по странам Западной Европы, в ходе его консультаций с зарубежными физиками-теоретиками.

В чём конкретно проявился этот замысел применительно к Кеплеровой задаче? Обратимся за разъяснением к двум параграфам «Механики» Ландау-Лифшица [3; сс 45-57]:

§ 14. Движение в центральном поле. § 15. Кеплерова задача.

Чтобы обеспечить возможность прямого сравнения различных подходов, приведём также основные положения классической концепции, официально признанной советской наукой и, в ключевых моментах, зафиксированной в Большой советской энциклопедии. Из последней (3-его издания) процитируем две статьи за подписью С.М.Тарга, определяющие предмет науки динамики и решаемые ею задачи [4]:

«Динамика (от греч. dynamikós — сильный, dýnamis — сила) – раздел механики, посвящённый изучению движения материальных тел под действием приложенных к ним сил… В динамике рассматриваются две основные задачи: нахождение сил, под действием которых может происходить данное движение тела, и определение движения тела, когда известны действующие на него силы» (конец цитаты).

Со времени Ньютона ключевым понятием классической механики (динамики) выступает понятие силы, отражающее реальную физическую величину, доступную инструментальному измерению. Ньютонова механика располагает и знанием законов, устанавливающих функциональные связи между действующими на физические тела силами и динамическими характеристиками движения, вызываемого этими силами. Таких законов семь:

- три закона Кеплера;

- три закона механики Ньютона (первый из которых открыт Галилеем);

- закон всемирного тяготения Ньютона.

В ньютоновой динамике уравнение движения представляет собой дифференциальное уравнение силового баланса (суммы находящихся в динамическом равновесии сил). Это уравнение, для удобства поиска математического решения, допускает арифметические и алгебраические преобразования (к примеру, сокращение всех членов уравнения на постоянную величину массы тела, перенос отдельных слагаемых из одной части равенства в другую с переменой знака перед ними плюс или минус на противоположный и др.). Такие операции не меняют физического смысла уравнения движения именно как баланса действующих на тело (возможно, представленных в приведённом или обобщённом виде) внешних и внутренних сил.

Только после решения уравнения движения в виде силового баланса становится, в общем случае, возможным определить вторичные, не наблюдаемые и не измеряемые, а лишь вычисляемые, динамические характеристики движения. Процедурами, с помощью которых вычисляются вторичные динамические характеристики, являются:

- интегрирование силового баланса по пути движения динамической системы с целью получения энергетического баланса;

- интегрирование силового баланса по времени с целью получения баланса импульсов (количества движения);

- дифференцирование энергетического баланса по времени с целью получения баланса мощностей динамического процесса и др.

Непосредственное получение вторичных динамических характеристик движения, без предварительного решения уравнения силового баланса, бывает возможно, но не в виде правила, а как исключение из него, справедливое для отдельных случаев, которые, конечно, надо иметь в виду и, при наличии достаточных для этого оснований, использовать для решения задачи.

Вместе с тем, приобретённый поколениями учёных опыт мучительных и бесплодных поисков, на протяжении ХVIII и ХIХ веков, некой универсальной процедуры, способной обойти указанное правило (наивысшим достижением таких поисков явился сформулированный теоретиками, но не выдержавший проверки на универсальность, «принцип минимального, максимального или стационарного действия»), должен был бы, наконец, внести окончательную ясность и поставить точку в этом вопросе. К сожалению, в чём мы убедимся ниже, этого пока не произошло.

Познакомимся теперь с ключевыми положениями концепции Ландау. Начнём с § 14 «Механики»:

«…Мы пришли к вопросу об определении движения частицы во внешнем поле, в котором её потенциальная энергия зависит только от расстояния r до определённой неподвижной точки; такое поле называют центральным. Сила

F= –∂U(r)/∂r … ,

действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль радиус-вектора» (конец цитаты).

Заметим, что ни в одном из законов классической механики не фигурирует такая физическая величина, как потенциальная энергия, ввиду её вторичности и субъективной неоднозначности в определении. Тем не менее, авторы пособия уверенно вводят в рассмотрение динамической задачи именно эту величину как исходную, не требующую объяснений и обоснований. А уже из этой величины частным дифференцированием «выводят» физически реальную, инструментально измеряемую величину силы. И это предлагается студенческой аудитории в качестве непреложного научного знания.

Но каким образом авторам учебного пособия удаётся заранее узнать величину потенциальной энергии частицы в поле тяготения, когда задача на её движение ещё не только не решена, но даже не поставлена? И почему процесс получения такого важного знания скрывается от студентов?

Раскроем эту тщательно оберегаемую тайну. Конечно же, первичным источником знания здесь служит закон всемирного тяготения, указывающий на обратно квадратичную зависимость силы притяжения тела (частицы) от расстояния до центра притяжения. Интегрированием силы притяжения по пути реально происходящего или ожидаемого движения определяется величина совершаемой силой притяжения работы, которая включается в энергетический баланс в качестве расходуемой на увеличение скорости (кинетической энергии) тела, либо пополняющей, за счёт уменьшения скорости, его потенциальную энергию (энергетический запас).

Однако, пока задача не решена, сохраняется неопределённость в выборе пути и пределов интегрирования. Частично эта проблема решается условным (потому что к реальному движению это может не иметь никакого отношения) отнесением одного из пределов интегрирования в бесконечно удалённую от центра притяжения точку. Неизвестный же путь по кривой конического сечения подменяется прямой линией по направлению к центру (или от центра) притяжения. Это и приводит к тому выражению для потенциальной энергии в поле тяготения, которое авторы учебного пособия преподносят студентам как некое безупречное и не подлежащее обсуждению «знание, полученное свыше».

Но разве такая, мягко говоря, усложнённая процедура введения силы (не прямо из закона всемирного тяготения, а «огородами») добавляет какое-либо новое знание? Ведь сила как была направленной к центру притяжения, так и осталась. И по величине не изменилась.

Заметим, что смысл решения задачи на движение в центральном поле состоит в том, чтобы найти орбиту (кривую конического сечения), в каждой точке которой сила притяжения «расщепляется» на две ортогональные составляющие (вдоль вектора скорости и перпендикулярно к нему), которые состоят в динамическом равновесии с силами инерции (линейными и центробежными), возникающими при криволинейном движении. Но никакого продвижения в этом направлении подход авторов пособия не даёт. Наоборот, он только добавляет новые вопросы.

Так, возникают серьёзные сомнения в математической корректности процедуры частного дифференцирования скалярной величины (потенциальной энергии) по вектору. Из какой системы исчисления «выпрыгнул этот зверь»? В векторно-тензорной алгебре такой процедуры нет. Значит, авторы пособия, ощутив недостаточность некритично принятой ими на вооружение системы исчисления, занялись её усовершенствованием в самодеятельном порядке? Однако, получился очередной пример из числа тех «нестрогих рассуждений», на которые указывал рецензент. И профессиональным математикам следует обратить, наконец, внимание на россыпи подобных «перлов» в книге Ландау-Лифшица, которые уже на протяжении семи десятилетий формируют у будущих физиков извращённое представление о математической строгости и точности. К примеру, на вот такой невнятный «оборот речи» [4; c. 15]:

«Под производной скалярной величины по вектору подразумевается вектор, компоненты которого равны производным от этой величины по соответствующим компонентам вектора».

Отказываясь основываться на использовании содержащегося в законах механики богатства векторных представлений о движении, авторы учебного пособия предлагают опуститься на уровень оперирования скалярными величинами, из которых складывается сначала функция Лагранжа, а затем энергетический баланс (закон сохранения энергии). После этого аналитикам остаётся лишь уповать на то, что подобная редукция уравнений движения не приведёт к безвозвратной утрате важной информации, так что её в дальнейшем всё-таки удастся извлечь сложными вычислительными методами и средствами.

В итоге, будущих физиков учат не тому, как решать актуальные динамические задачи, а как отлынивать от их решения, перекладывая возникающую, по лености их ума, «неподъёмную» (в общем-то, никому не нужную и ничего полезного не дающую) вычислительную работу на плечи математиков-прикладников. Такая установка проходит лейтмотивом через «Механику» Ландау-Лифшица; распространяясь и на Кеплерову задачу [4; c. 47]:

«Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движения».

Но удаётся ли, при таком подходе, получить обещанное авторами «полное решение» задачи? Нет, процесс решения так и застревает на уровне «неберущихся» интегралов и комментариев самого общего характера. С каким «научным багажом» авторы пособия приступают к непосредственному решению Кеплеровой задачи (§ 15), с таким, по сути, и остаются, выяснив лишь (уже давно не являющуюся научной тайной) форму траектории объекта в поле притяжения [4; c. 52]:

«Это есть уравнение конического сечения с фокусом в начале координат».

Полярное уравнение конического сечения было открыто на рубеже ХVIII-ХIХ веков французским астрономом Жозефом Жеромом Франсуа Лаландом (Josef-Jerome Francois de Lalande, 1732–1807), чьё имя долгое время оставалось неизвестным научной общественности из-за наложенного Наполеоном Бонапартом запрета на любое упоминание о нём в печати (который «по инерции» продолжал соблюдаться и после свержения диктатора) [5]. Через двести лет после этого события повторять вывод уравнения конического сечения и представлять его в качестве решения Кеплеровой задачи вряд ли целесообразно. Достаточно просто взять это уравнение в готовом виде, в качестве исходного пункта, а в конечном пункте должно появиться новое научное знание, которого в этом уравнении нет, а, именно: закон движения по конической траектории в виде функции времени.

Однако проблему поиска «зависимости координат частицы от времени при движении по орбите» [4; c. 54] авторы пособия разрешить не смогли и предложили читателям сделать это самим одним из двух путей на выбор: либо взять «неберущийся» интеграл из предыдущего параграфа, либо пойти по пути Кеплера и решить пару трансцендентных уравнений.

О первом пути трудно что-либо добавить к уже сказанному, а по второму целесообразно проконсультироваться с профессиональными математиками.

Трансцендентное уравнение Кеплера

Открытие полярного уравнения конического сечения поставило законы Кеплера на прочную математическую основу. Оставалось сделать последний шаг: представить найденную математическую зависимость в виде функции времени, что и стало основным содержанием задачи, получившей название Кеплеровой задачи. Как в наше время математики решают эту задачу?

Процитируем научную публикацию на эту тему известных математиков В.И.Арнольда, В.В.Козлова и А.И.Нейштадта [6; cс. 64-67]:

«Задача о движении точки в силовом поле с потенциалом U=–γ/r обычно называется задачей Кеплера…

3.2. Аномалии.

Для полного решения задачи Кеплера нам осталось найти закон движения по уже известным орбитам. Направим оси x и y по главным осям конического сечения, представляющего орбиту. Её уравнение можно представить в следующем параметрическом виде:

х = а(cos u–e), y = a sin u √(1– e²), (0 ≤ е< 1). (3)

…Вспомогательная переменная u в астрономии называется эксцентрической аномалией, а угол φ между направлением на перицентр орбиты (ось х) и радиусом-вектором точки – истинной аномалией.

Имеет место следующая формула

tg(φ/2)=tg(u/2) √(1+e)/(1–e).

...Подставляя формулу (3) в интеграл площадей x(dy/dt)–y(dx/dt)=c и интегрируя, получим соотношение между временем и эксцентрической аномалией

u–e sin u = n(t–tₒ), n=√(γ/p³ʹ²).

…Здесь tₒ – время прохождения точки через перицентр.

(γ=GM – произведение постоянной тяготения на массу гравитирующего тела, р – большая полуось эллиптической орбиты, е - эксцентриситет. – Примеч. А.П.).

Это уравнение называется уравнением Кеплера. Линейная функция ξ=n(t–tₒ) называется обычно средней аномалией. Таким образом, в эллиптическом случае задачи Кеплера мы должны решить трансцендентное уравнение Кеплера

Ясно, что при (0≤е<1) оно имеет аналитическое решение u(е,ξ), причём разность u(е,ξ)–ξ периодична по средней аномалии ξ с периодом 2π. Для того, чтобы представить функцию u(е,ξ) в удобном для вычислений виде, можно избрать два пути:

(1) разложить функцию u–ξ при фиксированных значениях е в ряд Фурье по ξ с зависящими от е коэффициентами,

(2) можно попытаться представить u(е,ξ) в виде ряда по степеням эксцентриситета е с коэффициентами, зависящими от ξ»…

Далее авторы показывают, что в первом случае коэффициенты ряда представляются функциями Бесселя m-го порядка, 1≤m≤∞, а при втором подходе коэффициенты ряда, представляющие собой тригонометрические полиномы средней аномалии ξ, могут быть получены с использованием известной формулы локального обращения голоморфных функций Лагранжа…

Ознакомление с процитированной выше публикацией создаёт впечатление, что нынешние математики живут не на рубеже ХХ-ХХI веков, а в том же XVII веке, что и Кеплер, и знают о движении небесных тел по коническим орбитам не больше, чем знал он. Поэтому и поступают они так же, как он: приводят эллиптическое движение к равномерному круговому, используя понятия истинной, эксцентрической и средней аномалий.

Кеплерова задача в алгебре с делением

Однако, прежде чем отправляться на поиски нового знания и предлагать более совершенные методы и средства его приобретения, нужно тщательнее проштудировать и полнее использовать знание, уже добытое трудом предыдущих поколений учёных. В данном случае речь идёт о полярном уравнении конического сечения Лаланда, богатство физического содержания которого ещё не до конца раскрыто и не оценено по достоинству.

Уравнение Лаланда в действительных координатах

Уравнение конического сечения Лаланда было представлено его автором в полярных координатах на действительной плоскости. В таком виде мы и приступим к его анализу.

Сразу же укажем на одно существенное отличие, которое вносит это уравнение в способ решения Кеплеровой задачи, по сравнению с тем, который использовал Кеплер, не знавший этого уравнения. Кеплер рассматривал эллиптическую орбиту как «аномально отклонившуюся» от круговой орбиты. Он устранял это аномальное отклонение, увеличивая малую полуось эллипса до размера большой, а затем, усредняя скорость движения по орбите, решал возникающее трансцендентное уравнение методом последовательных приближений.

Открытие Лаландом полярного уравнения конического сечения показало, в чём Кеплер был неточен (или, в силу объективных обстоятельств, неправ). Из уравнения Лаланда видно, что эллиптическое движение представляет собой колебательный процесс с периодическими отклонениями движущегося тела от некоторой круговой орбиты (с нулевым эксцентриситетом), которую можно назвать исходной. Однако, радиус этой исходной круговой орбиты равен не большой полуоси эллипса (как принимал в расчётах Кеплера), а фокальному параметру, что становится очевидным, если записать уравнение Лаланда следующим образом:

1/r=1/p+(ε/p)cosφ,

где ε/p – амплитуда радиальных отклонений от круговой орбиты.

Естественно, здесь угол φ – это уже не «истинная аномалия», а просто фаза вращения (обращения) тела по орбите, совпадающая с фазой периодических изменений длины радиус-вектора (или его обратной величины).

Если Кеплеру для определения характеристик эллиптической орбиты наблюдаемого небесного тела (фокального параметра р, эксцентриситета ε и др.) требовалось знание вида орбиты в целом (или, по крайней мере, такой её характерной точки, как перигей, чтобы установить начало отсчёта), то уравнение Лаланда позволяет легко рассчитать орбиту небесного тела по наблюдениям за его движением в малой окрестности любой точки орбиты.

Покажем поэтапную процедуру определения характеристик эллиптической орбиты космического объекта по данным его внешнетраекторных наблюдений в некоторый произвольный (минимально необходимый для инструментального контроля) промежуток времени (при этом, массу объекта полагаем в расчётах единичной и значительно меньшей массы М гравитирующего тела).

1. Начнём с определения константы, присутствующей во втором законе Кеплера, а именно момента импульса (обозначим его как I), равного удвоенной секторальной скорости. Эту величину можно определить, зная расстояние r от центра притяжения до объекта и его угловую скорость dφ/dt перемещения в окрестности данной точки (характеристики движения определяем так, как если бы наблюдение за объектом велось из центра притяжения):

I=r²dφ/dt=const.

2. Величина I связана с фокальным параметром р и линейной скоростью V движения объекта на исходной круговой орбите соотношением:

I=Vр.

Это даёт возможность вычислить, на основе закона всемирного тяготения, обе эти константы. Сначала находим линейную скорость V на исходной круговой орбите:

V=GM/I,

где G – гравитационная постоянная.

Затем вычисляем величину фокального параметра эллиптической орбиты:

р=I/V.

3. Геометрически складывая инструментально измеренные наблюдателем радиальную и тангенциальную компоненты линейной скорости объекта, определяем направления касательной и нормали в данной точке траектории, а попутно с этим и величину угла γ между направлениями нормали и радиус-вектора (рис. 1).

4. Из уравнения Лаланда находим проекции линейных скоростей (рис.2):

- радиальную КQ=dr/dt=Vεsinφ,

- тангенциальную KS=r dφ/dt=V(1+εcosφ).

Геометрическим сложением этих векторов находим линейную скорость объекта:

KT=V√(1+2εcosφ+ε²).


Рис. 1.

Обозначения на рис. 1: F – начало координат в фокусе орбиты; FK – радиус-вектор; KT - вектор линейной скорости; KN – нормаль к орбите;

φ - угол между радиусом-вектором и осью абсцисс;

θ - угол наклона нормали к оси абсцисс;

γ – угол между радиус-вектором и нормалью.

5. Рассмотрим полный набор привязанных к точке К векторов скоростей (рис. 2).

Вычитая из вектора KS=V(1+εcosφ) вектор LS=V, получаем вектор КL=Vεcosφ, геометрическое сложение которого с вектором КQ=Vεsinφ даёт вектор КU, равный по модулю Vε и направленный перпендикулярно оси абсцисс в любой точке орбиты.

Таким образом, нам становятся известны величина эксцентриситета ε и направление оси абсцисс х, а, следовательно, и текущие значения углов φ и θ – наклона к оси абсцисс радиус-вектора и нормали в данной точке орбиты (рис. 1 и 2).

Рис. 2.

Обозначения на рис. 2: КТ – вектор линейной скорости; КS – проекция вектора линейной скорости на направление, перпендикулярное радиус-вектору; КQ – проекция вектора линейной скорости на направление радиус-вектора; КU – составляющая вектора линейной скорости, перпендикулярная оси абсцисс и равная по модулю величине Vε; КL – проекция вектора КU на направление, перпендикулярное радиус-вектору.

6. Величины углов φ и θ функционально связаны следующей зависимостью [5; сс. 403-404], что следует и из рис. 1:

тангенс угла наклона нормали tg θ=sinφ/(cosφ+ε).

7. Из треугольника КFN по теореме синусов получаем:

sinγ=εsinθ.

8. Из уравнения нормали [5]

sinφ(1+εcosφ)x−(1+εcosφ)(cosφ+ε)y+pεsinφ=0, –

находим, что она пересекает ось абсцисс в точке

x = −pε/(1+εcosφ)= −rε.

Таким образом, длина отрезка нормали КN, от точки на орбите до пересечения с осью абсцисс, равна:

KN=r√(1+2εcosφ+ε²).

9. Сила притяжения в точке К, направленная к фокусу F, согласно закону всемирного тяготения, равна:

f= –GM/r²= –GM(1+ε cosφ)²/p²= – (V²/p)(1+ε cosφ)².

Эта сила разлагается на две составляющие:

- направленную вдоль нормали (к центру кривизны), пропорциональную величине

cosγ=(1+εcosφ)/√(1+2εcosφ+ε²)

и, следовательно, равную

fⁿ= –V²(1+εcosφ)³/p√(1+2εcosφ+ε²);

- направленную по касательной к орбите, пропорциональную величине

sinγ=(εsinφ)/√(1+2εcosφ+ε²)

и, следовательно, равную

fᵏ= –V²εsinφ(1+εcosφ)²/p√(1+2εcosφ+ε²).

10. С учётом того, что квадрат линейной скорости в произвольной точке орбиты равен V²(1+2ε cosφ+ε²), текущий радиус кривизны орбиты равен:

R=p(1+2εcosφ+ε²)³ʹ²/(1+εcosφ)³.

11. При условии наблюдения за движением объекта из центра кривизны, мгновенная угловая скорость его перемещения составит величину:

ω=(V/R)√(1+2εcosφ+ε²)=V(1+εcosφ)³/p(1+2εcosφ+ε²).

Указанные выше параметры движения мы смогли определить, воспользовавшись уравнением Лаланда в полярных координатах на действительной плоскости.

Но завершающие этапы составления и решения дифференциального уравнения эллиптического движения, в виде ньютонова баланса сил, мы будем вынуждены провести на комплексной плоскости.

Движение по конике на комплексной плоскости

Занимавшиеся в разное время разработкой основ векторной алгебры Эйлер, Даламбер, Гаусс, Коши, Риман, Гамильтон не придавали большого значения установлению чётких границ между её разновидностями. Некоторые положения векторной алгебры разрабатывались как универсальные, в результате чего, после произошедшей дифференциации разделов математики, часть реализованных в них требований оказывалась, с одной стороны, избыточной для определённых классов задач, а, с другой стороны, недостаточно специфичной для того, чтобы полностью реализовать их основные достоинства и возможности.

Так, в теорию функций комплексного переменного оказались включены условия Даламбера-Эйлера или условия Коши-Римана – соотношения, согласно которым действительная и «мнимая» части всякой дифференцируемой функции комплексного переменного w=f(z)=u+iv, z=x+iy, должны удовлетворять уравнениям

∂u/∂x=∂v/∂y,

∂u/∂y=–∂v/∂x,

или в компактной записи

∂f/∂x+i∂f/∂y=0.

При некоторых добавочных ограничениях, в виде требований существования полных дифференциалов функций u(х, у) и v(х, у), условия Даламбера-Эйлера становились не только необходимыми, но и достаточными для дифференцируемости функции f(z)=u+iv.

Однако при этом требование существования производной функции комплексного аргумента становилось существенно ограничительнее, чем требование существования производной функции действительного аргумента.

Так, если требование существования производной функции у=φ(х) действительного аргумента означает существование предела отношения Δх/Δу при приближении точки х+Δх к точке х по двум направлениям, слева и справа, и совпадение этих пределов, то требование существования производной функции f(z) комплексного аргумента означает существование предела отношения Δf/Δz при приближении точки z+Δz к точке z по любому пути из бесконечного множества направлений, и совпадение всех этих пределов.

Функция, дифференцируемая во всех точках некоторой области с соблюдением указанных выше условий, называется аналитической (голоморфной, моногенной, регулярной) в этой области. А связанные условиями Даламбера-Эйлера действительная и «мнимая» части аналитической в некоторой области D функции f(z)=u+iv, входят в ограниченный класс функций, удовлетворяющих решениям уравнения Лапласа на действительной плоскости R²

∂²Т/∂x²+∂²Т/∂y²=0,

составляя при этом сопряжённые пары так называемых гармонических функций (не путать с функциями, описывающими гармонические колебания!).

Характерным примером гармонической функции является электростатический потенциал в точках, где отсутствует заряд. Понятно, что для описания динамических процессов, подобных движениям по кривым конического сечения, столь жёсткие требования к функциям комплексного переменного не нужны. Более того, самó включение аппарата частных производных в комплексный анализ нивелирует главное достоинство комплексных чисел как алгебры с векторным делением на плоскости, а в некоторых случаях даже полностью лишает этого свойства.

В литературе встречается следующее выражение для дифференциала функции комплексного аргумента f(z)=u+iv:

df(z)=du+idv.

В какой мере это справедливо для Кеплеровой задачи?

Казалось бы, для перевода Кеплеровой задачи на комплексную плоскость достаточно заменить действительную ось ординат у на «мнимую» ось iу. В этом случае мгновенная угловая скорость перемещения объекта по эллиптической орбите, при наблюдении из центра притяжения (фокуса эллипса), будет равна:

dφ/dt=i(V/р)(1+εcosφ)².

Соответственно, радиальная и тангенциальная проекции линейной скорости объекта будут равны:

dr/dt=Vεsinφ,

r dφ/dt=iV(1+εcosφ).

Но, к сожалению, на этом уровне адекватность данного комплексного представления эллиптического движения заканчивается. Вторая производная по времени от экспоненциальной формы комплексного радиус-вектора приводит к фиктивным величинам центробежного и тангенциального ускорений, не отвечающим требованиям их динамического равновесия с найденными выше компонентами силы притяжения (приведённой к единичной массе движущегося объекта).

При таком применении комплексных чисел, для описания динамического процесса, они роль алгебры с векторным делением не исполняют.

По иному ведут себя комплексные числа, если поместить начало координат в центр кривизны, направив ось абсцисс по нормали к данной точке орбиты и аппроксимируя движение в окрестности этой точки движением по окружности с радиусом, равным радиусу кривизны.

Уравнение такого кругового движения в произвольной точке орбиты будет иметь вид:

d²z/dt²= –(MG/p²)(1+εcosφ)²exp(iωt),

где в правой части уравнения показана сила притяжения, приведённая к единичной массе движущегося объекта и вращающаяся вместе с объектом с мгновенной угловой скоростью

ω=(V/р)(1+εcosφ)³/(1+2εcosφ+ε²).

Решением этого уравнения движения является функция времени:

z(t)=R exp(iωt),

где R – радиус кривизны в данной точке орбиты.

Убедимся в правильности этого решения, дважды продифференцировав функцию z(t) по времени:

dz/dt=iωR exp(iωt)=iV[√(1+2εcosφ+ε²)]exp(iωt);

d²z/dt²=–ωV[√(1+2εcosφ+ε²)]exp(iωt)–iVεsinφ[(dφ/dt)/√(1+2εcosφ+ε²)]exp(iωt),

или окончательно

d²z/dt²=–{[V²(1+εcosφ)³+iV²εsinφ(1+εcosφ)²]/p√(1+2εcosφ+ε²)}exp(iωt).

Как видим, подстановка указанного решения в уравнение движения превращает последнее в тождество:

d²z/dt²≡(fⁿ+fᵏ)exp(iωt).

Недостатком полученного решения задачи является необходимость вести отсчёт времени с нуля для каждой точки орбиты. Но теория функций комплексного переменного даёт возможность устранить этот недостаток, установив единое начало отсчёта времени в момент прохождении движущимся объектом перицентра эллиптической орбиты.

Решение Кеплеровой задачи в конформном отображении

Сместим нормаль в произвольной точке орбиты параллельно самóй себе в положительном направлении оси абсцисс на величину rε, в результате чего эта прямая пройдёт через фокус орбиты. Соответственно, текущее положение точки К на орбите сместится вдоль оси абсцисс на ту же величину rε в некоторую точку G (рис. 3).


Рис. 3.

Теперь применим (по сути, подсказываемое уравнением Лаланда) конформное отображение комплексной плоскости z на комплексную плоскость w, сохраняющее неизменными углы между линиями:

w=1/z.

Результат такого конформного преобразования представлен на рис. 4.


Рис. 4.

На рис. 4 вектор WK описывает окружность радиуса 1/р вокруг центра W, смещённого от начала координат О по оси абсцисс на величину ε/р.

Длина отрезка нормали ОК при этом равна:

OK=(1/p)√(1+2εcosφ+ε²).

Поскольку точка К (в реальном наблюдательном процессе) перемещается по орбите с линейной скоростью, равной по модулю:

KT=V√(1+2εcosφ+ε²),

то относительно начала координат О это перемещение будет происходить с обобщённой угловой скоростью, равной по модулю:

dθ/dt=КТ/ОК=Vр=const,

т.е. с удвоенной секторальной скоростью, фигурирующей во втором законе Кеплера и равной моменту импульса движущегося тела.

Это означает, что угол θ изменяется прямо пропорционально реальному времени движения объекта по орбите. Коэффициент пропорциональности определяем из пропорции: за время, пока угол θ изменится, при постоянной секторальной скорости Vр/2, в пределах от 0 до 2π, радиус-вектор FК (рис.1) полностью «заметёт» площадь эллипса, равную πр²/√(1–ε²)³.

В итоге, текущие значения реального времени t и угла θ наклона нормали к большой оси эллипса в произвольной точке орбиты (с началом отсчёта обеих величин в момент прохождения движущейся точки через перицентр) оказываются связанными прямой пропорциональной зависимостью:

t=θp/V√(1–ε²)³=θ(√a³)/√GM,

где а – большая полуось эллипса.

Этот результат полностью соответствует третьему закону Кеплера.

Заключение

Зададимся вопросом: что мешало математикам и физикам-теоретикам получить вышеприведённое решение Кеплеровой задачи раньше, начиная с ХVIII века и вплоть до наших дней? Можно назвать три основные причины.

Первая причина состоит в том, что добротная математическая основа для такого решения, в виде уравнения Лаланда, появилась лишь в начале ХIХ века. Но, как ни странно, математики этим открытием не воспользовались и до сих пор предлагают идти путём Кеплера, решая найденное им трансцендентное уравнение (благо, что в век компьютеров вычислительные трудности уже никого не пугают).

Вторая причина заключается в том, что физики-теоретики чрезмерно «священнодействуют» с лагранжево-гамильтоновой методологией, которая адекватна лишь в случаях, когда исследуемые системы приводятся к замкнутым или голономным. При решении же более сложных динамических задач, включая Кеплерову, указанная методология обнаруживает свою неуниверсальность и принципиальную слабость.

Наконец, следует сказать и о ключевой проблеме, а, именно, о давно назревшей необходимости перевести теоретическую физику с методологии, опирающейся на математический аппарат частных производных и редуцирующей векторные характеристики динамических процессов в наборы скалярных проекций на действительные оси координат, на более совершенную методологию, опирающуюся на алгебры с векторным делением.

Разбор конкретного случая с Кеплеровой задачей можно было бы завершить словами баснописца: «А Ларчик просто открывался».

Список литературы

[1] Новиков С.П. Новый дискретный вариант комплексного анализа. Летняя школа “Современная математика”, г. Дубна, 22 июля 2007 года. (http://www.mathnet.ru/php/presentation.phtml?option_lang=rus&presentid=125)

[2] Фок В.А. Рецензия на книгу: Л. Ландау и Л. Пятигорский. Механика. (Теоретическая физика под общей редакцией проф. Л.Д.Ландау, т. I). Гостехиздат. Москва — Ленинград, 1940. – УФН, 1946 г., т. ХХVIII, вып.2-3.

[3] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001.

[4] Большая советская энциклопедия. Электронная версия 3-го издания. http://www.multimedia.ru/sol/bse01.html

[5] Шпигельман М. Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещённых полярно-декартовых координатах.- М.: 2006.

[6] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: ВИНИТИ, серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т.3, 1985, сс. 64-67.

Личные инструменты