Кеплерова задача – критерий качества точных наук

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск
Петров Анатолий Михайлович
Дата рождения:

07.09.1937 г.

Гражданство:

Флаг СССРФлаг России

Учёная степень:

кандидат технических наук

Учёное звание:

старший научный сотрудник

Представители официальной науки полагают, что достижения последних десятилетий в ряде научных областей столь велики и убедительны, что оглядываться на, казалось бы, давно решённые и прочно вошедшие в учебную литературу задачи, а, тем более, подвергать сомнению надёжность методологии и математического аппарата, с помощью которых они решались, нет оснований. На конкретном примере покажем, что это не так.

Содержание

К истории Кеплеровой задачи

«Усилия Кеплера невероятны. Каждое его вычисление занимает 10 страниц в листе; каждое вычисление он повторял по 70 раз; 70 повторений дают 700 страниц. Вычисляющие знают, сколько можно сделать ошибок и сколько раз надо было проделывать вычисления, занимающие 700 страниц: сколько же надо было употребить времени? Кеплер был человеком удивительным; он не испугался такого труда…».

— Жан Сильвен Байи «История астрономии», 1775.

Таков исторический факт: зако́ны Ке́плера были открыты эмпирическим путём, в виде интуитивно подобранных Иоганном Кеплером (1571–1630) соотношений, на основе анализа астрономических наблюдений Тихо Браге (1546–1601). Как это произошло?

«Чрезвычайно трудные и многолетние вычисления не удовлетворяли его: разности между вычислениями и наблюдениями простирались до 5 и 6 минут градуса; от этих-то разностей он хотел освободиться и, наконец, открыл истинную систему мира. Кеплер решительно отказался от движения планет по кругам около эксцентра, т.е. около точки воображаемой, невещественной. Вместе с такими кругами уничтожились и эпициклы. Он предположил, что Солнце есть центр движения планет, совершающихся по эллипсу, в одном из фокусов которого находится этот центр. Чтобы возвести такое предположение на степень теории, Кеплер произвёл вычисления, удивительные по своей трудности и по своей продолжительности. Он показал беспримерно неутомимое постоянство в труде и непреодолимое упорство в достижении предложенной цели. Такая работа была награждена тем, что вычисления, относительно Марса, основанные на его предположении, привели к выводам, совершенно согласным с наблюдениями Тихо»

http://biographera.net/biography.php?id=79

Первые два закона были представлены Кеплером в его труде: «Astronomia nova sive physica caelestis, tradita commetaris de motibus stellae Martis ex observationibus Tycho Brahe». – Прага, 1609.

«Теория Кеплера состоит из двух положений: 1) планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится центр Солнца, и 2) планета двигается с такой скоростью, что радиусы-векторы описывают площади вырезок, пропорциональные временам движения. Из многочисленных наблюдений в Уранибурге Кеплер должен был выбрать наиспособнейшие для решения вопросов, соединённых с главной задачей и изобрести новые способы вычисления. Посредством такого благоразумного выбора, без всякого предположения, он доказал, что линии, в которых плоскости орбит всех планет пересекают эклиптику, проходят через центр Солнца и что эти плоскости наклонены к эклиптике почти под постоянными углами»

http://biographera.net/biography.php?id=79

Десять лет потребовала работа над ещё одним законом небесной механики, который Кеплер представил в своём труде «Harmonicces mundi libri quinque …». – Линц, 1619.

Здесь Кеплер отдаёт отчёт об открытии третьего своего закона, именно: квадраты времён вращений планет пропорциональны кубам их расстояний от Солнца (точнее, кубам больших полуосей эллиптических орбит). 18 марта 1618 года вздумал он сравнить квадраты времён вращений с кубами расстояний. Но, по ошибке вычисления, он нашёл, что закон неверен; 15 мая он вновь переделал вычисления, и закон оправдался. Но и тут Кеплер сомневался в нём, потому что во втором вычислении также могла быть ошибка. "Однако же, – говорит Кеплер, – после всех проверок я убедился, что закон совершенно согласен с наблюдениями Тихо. Итак, открытие не подлежит сомнению".

Вот названия других сочинений Кеплера, показывающих, какую трудолюбивую жизнь вёл великий астроном:

- Nova dissertatiuncula de fundamentis astrologiae certioribus, и пр. – Прага, 1602.
- Epistola ad rerum coelestium amatores universos, и пр. – Прага, 1605.
- Sylva chronologica. – Франкфурт, 1606.
- Подробная история новой кометы 1607года, и пр. На немецком; в Галле, 1608.
- Phoenomenon singulare, seu Mercurius in Sole, и пр. – Лейпциг, 1609.
- Dissertatio cum Nuncio sidereo nuper ad mortales misso a Galileo. – Прага, 1610; в том же году была перепечатана во Флоренции, а в 1611 во Франкфурте.
- Narration de observatis a se quatuor Jovis satellitibus erronibus quos Galilaeus medica sidera nuncupavit. – Прага, 1610.
- Jo. Kepleri strena, seu de nive sex–angula. – Франкфурт, 1611.
- Kepleri eclogae chronicae ex epistolis doctissimorum aliquot virorum et suis mutuis. – Франкфурт, 1615.
- Ephtmerides novae, и пр. – Кеплеровы эфемериды издавались до 1628 года и всегда на год вперёд; но печатались по истечении года. После Кеплера их продолжил Барчий, зять Кеплера.
- Известия о несчастьях для правительства и церквей, особенно о кометах и землетрясениях в 1618 и 1619 гг. На немецком, 1619.
- Затмения 1620 и 1621 гг. На немецком, в Ульме, 1621.
- Kepleri apologia pro suo opere Harmonices mundi, и пр. – Франкфурт, 1622.
- Discursus conjuctionis Saturni et Joves in Leone. –Линц, 1623.
- Jo. Kepleri chilias logarithmorum. – Марбург, 1624.
- Jo. Kepleri hyperaspistes Tychonis contra anti-Tychonem Scipionis Claramonti, и пр. – Фракфурт, 1625.
- Jo. Kepleri supplementum chiliadis logaritmorum. – Acnypr, 1625.
- Admonitio ad astronomos rerumque coelestium studiosos de miris rarisque anni 1631 phoenomenis, Veneris puta et Mercurii in Solem incursu. – Лейпциг, 1629.
- Responsio ad epistolum jac. Bartschii praefixam ephemeridi anni 1629, и пр. – Саган, 1629.
- Sportula genethliacis missa de Tab. Rudolphi usu in computationibus astrologicis, cum modo dirigendi novo et naturali. – Саган, 1629.
Ганш в 1718 году издал один том, содержащий в себе часть рукописей, оставшихся после Кеплера; обещанный им второй том не вышел, по недостатку средств. Ещё восемнадцать тетрадей неизданных рукописей были куплены Императорской Санкт-Петербургской академией наук в 1775 году.

http://biographera.net/biography.php?id=79

Естественно, эмпирический вид законов Кеплера не мог удовлетворить учёных, и поиски для этих законов адекватной математической формы продолжались. Но ключевое слово, определившее направление поисков, Кеплером было уже произнесено: эллипс!

Как таковые, конические сечения, частным случаем которых является эллипс, были известны ещё математикам Древней Греции. Древнегреческий учёный Менехм (IV в. до н.э.) пользовался параболой и гиперболой для знаменитой задачи удвоения куба. Исследовали свойства конических сечений Евклид (IV в. до н.э.) и Архимед (III в. до н.э.). Изучая конические сечения как пересечения плоскостей и конусов, древнегреческие математики рассматривали их и как траектории точек на плоскости.

Полное и систематическое учение об этих кривых было изложено Аполлонием Пергским (около 200 г. до н. э.) в восьмитомном труде "Конические сечения". Он впервые показал, как можно получить эти кривые, рассекая один и тот же конус под разными углами. Он же ввёл термины "эллипс", "парабола" и "гипербола", означающие в переводе с греческого соответственно "недостаёт", "равен" и "превосходит". Происхождение этих названий связано с задачей построения прямоугольника с заданным основанием (равным абсциссе кривой) равновеликого данному квадрату (построенному на ординате).

Предметом исследований являлись и использовавшиеся для описания конических сечений системы координат. Так, понятия угла и радиуса были известны ещё в первом тысячелетии до н. э. Греческий астроном Гиппарх (190-120 гг. до н. э.) создал таблицу, в которой для разных углов приводились длины хорд. Существуют свидетельства применения им полярных координат для определения положения небесных тел.

В книге «Методы флукций» (написана в 1671 году, напечатана в 1736 году) Исаак Ньютон исследовал преобразование между полярными координатами, которые он обозначал как «Седьмой способ; Для спиралей» («англ. Seventh Manner; For Spirals»), и девятью другими системами координат.

В статье, опубликованной в 1691 году в журнале Acta Eruditorum, Якоб Бернулли использовал систему с точкой на прямой, которые он назвал полюсом и полярной осью соответственно. Координаты задавались как расстояние от полюса и угол от полярной оси. Работа Бернулли была посвящена проблеме нахождения радиуса кривизны кривых, определённых в этой системе координат.

Введение термина «полярные координаты» приписывают Грегорио Фонтана. В XVIII веке он входил в лексикон итальянских авторов. В английский язык термин попал через перевод трактата Сильвестра Лакруа «Дифференциальное и интегральное исчисление», выполненного в 1816 году Джорджем Пикоком. Для трёхмерного пространства полярные координаты впервые предложил Алекси Клеро, а Леонард Эйлер был первым, кто разработал соответствующую систему.

Интерес к коническим сечениям заметно возрос после того, как сначала Г.Галилей (1564–1642) установил, что тело, брошенное под углом к горизонту, двигается по параболе, а затем И.Кеплер доказал, что планеты при своём движении описывают эллипсы. Позднее было установлено, что кометы и другие небесные тела движутся по эллипсам, параболам или гиперболам в зависимости от их начальной скорости. А честь открытия единого полярного уравнения конического сечения принадлежит французскому астроному Жозефу Жерому Франсуа Лаланду (Josef-Jerome Francois de Lalande, 1732–1807).

Последний факт долгое время оставался малоизвестным даже в научных кругах, поскольку здесь в науку оказалась «замешана политика». Об этом следует рассказать подробнее. Вот что пишет М.Шпигельман (М.Spiegelman) в своей книге «Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещённых полярно-декартовых координатах» (М.: 2006, с.с. 441-448), основываясь, в частности, на материалах работы Г.Е.Павловой «Жозеф Жером Франсуа Лаланд». http://vmate.ru/load/uchebniki/uchebnye_materialy/mikhail_shpigelman_ehllipsy_paraboly_i_giperboly_v..

Лаланд занимался астрономическими наблюдениями в бурную эпоху Французской революции, но даже в этой сложной обстановке сумел провести наблюдения около 50000 звезд. В начале 1790-x годов у Лаланда сложились дружеские отношения с Наполеоном Бонапартом. Наполеон часто встречался с Лаландом, посещал его обсерваторию, где, как говорят, жадно слушал лекции (видимо, юный честолюбец не исключал для себя и варианта научной карьеры).

Во время военного похода Наполеона в Италию, когда при штурме Вероны была разрушена обсерватория и работавшие в ней астрономы, среди которых были и ученики Лаланда, остались без средств к существованию, Лаланд вступился за них, и, надо отдать должное Наполеону, «зло войны» тогда было, насколько это возможно, исправлено.

Однако позже, став в 1799 году первым консулом, а вскоре и императором, Наполеон изменил своё отношение к учёным, перед которыми прежде заискивал. Особый гнев императора вызвали две атеистические работы Лаланда, в одной из которых были такие строки: «Я думаю, что способствовать прогрессу науки – это значит выполнить первую обязанность друга человечества. Главная из всех аксиом, которую важно понять человечеству – это то, что наука есть истинная слава, и мир – её истинное благополучие. Таким образом, философы должны способствовать развитию науки и, может быть, тем уменьшить число монстров, которые управляют государствами и обагряют кровью землю, которые ведут войну и делают это, прикрываясь религией».

Наполеон запустил механизм репрессий и пытался лишить Лаланда возможности выступать в печати. Однако учёный продолжал свою научную деятельность и публиковал свои результаты в различных журналах. Тогда, по приказу Наполеона, Лаланд был смещён со всех занимаемых должностей, и о его заслугах в астрономии было запрещено упоминать в печати. Окружение Наполеона сделало всё возможное, чтобы забыть о недавно столь популярном и уважаемом всеми учёном.

В книге Шпигельмана сообщается такой факт (с.452): французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (P.S.Laplace, 1749–1827) опубликовал в 1807 году, в оригинале на французском и в переводе на немецком, «Трактат о небесной механике», в котором привёл полярное уравнение конического сечения. Но, как пишет Шпигельман, «Лаплас не цитирует Лаланда. Ссылка на работу Лаланда появляется только в немецком переводе… Такое легко объяснить, с одной стороны, запретом Наполеона на упоминание имени Лаланда, а, с другой стороны, простотой вывода полярного уравнения – простые фрагменты теории как ранее, так и сейчас, цитируются нечасто».

М.Шпигельман заключает: “Только коллеги и ученики Лаланда по Академии Наук скромно отметили его кончину в апреле 1807 года. Много позже, в 1889 году Л.Амиабль отмечал, что Лаланд «дал своим современникам высокий пример, как презирать величие и власть. Он остался твёрдо стоять на своём в то время, когда столько гениев преклонялись перед триумфом деспотизма»… Как пишет Г.Е.Павлова: «Только в 1869 году, спустя шестьдесят с лишним лет после кончины учёного, в Бурк-ан-Бресе появилась первая книга, рассказывавшая о роли Лаланда на его родине». По всей видимости, запретами Наполеона и объясняется тот факт, что полярное уравнение, цитируемое, как правило, в подавляющем большинстве современных учебников по аналитической геометрии, не имеет до сих пор своего автора. В связи с вышесказанным, надеемся, что в наше просвещённое время это уравнение, в конце концов, обретёт имя своего творца (творцов) и будет называться именем Лаланда или же Лаланда-Лапласа”.

Итак, открытие полярного уравнения конического сечения поставило законы Кеплера на прочную математическую основу. Оставалось сделать последний шаг: представить найденную математическую зависимость в виде функции времени, что и стало основным содержанием задачи, получившей название Кеплеровой задачи.

Для полноты картины укажем здесь также задачи, «родственные» Кеплеровой, решение которых, однако, не даёт решения последней.

Ещё Ньютон показал, что его закон всемирного притяжения и его механика приводят к эмпирическим законам Кеплера, но оставил открытым вопрос о том, существуют ли другие взаимодействия, ведущие к законам Кеплера, обозначив его в своих Математических Началах. Ситуация изменилась лишь в 1870-х годах, когда Бертран ↑ и его коллеги обратились к следующим задачам.

Первая задача Бертрана: найти закон сил, зависящих только от положения движущейся точки, и заставляющих её описывать конические сечения, каковы бы ни были начальные условия. Эта задача была решена Дарбу и Альфеном при дополнительном предположении, что сила центральная. А затем удалось отбросить и это условие. Оказалось, что таких взаимодействий два — закон всемирного тяготения и закон Гука. Тем самым вопрос, остававшийся со времён Ньютона, был исчерпывающе решён: для вывода закона всемирного тяготения достаточно было узнать из опыта, что траектории планет — конические сечения и что этот закон — не закон Гука.

Вторая задача Бертрана: зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать замкнутую кривую, каковы бы ни были начальные условия, если только скорость меньше некоторого предела, найти закон этой силы. Ответ короток: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения. Задача решена самим Бертраном, а наиболее полное решение приведено в заметке Дарбу к механике Депейру ↑.

И, наконец, задача Кенигса ↑ (Koenigs G.): зная, что сила, вызывающая движение планеты вокруг Солнца, зависит только от расстояния и такова, что она заставляет свою точку приложения описывать алгебраическую кривую, каковы бы ни были начальные условия, найти закон этой силы. Как это ни удивительно, но ответ тот же: закон силы может быть или законом Гука или законом всемирного тяготения. Исчерпывающее решение задачи дано самим Кенигсом (http://ru.wikipedia.org/w/index.php).

Существующие подходы к решению Кеплеровой задачи

Для начала покажем, в каком виде Кеплерова задача преподаётся студентам физических специальностей университетов.

Мальханов С.Е. Общая физика (конспект лекций). - СПб.: СПбГТУ, 2001, сс. 77-80:

«§ 4 Кеплерова задача: каковы траектории тел в поле тяготения?

Под траекторией подразумеваем зависимость координат друг от друга r = r(x,y,z,t) → x ~ y ~ z. В случае полярных координат на плоскости r ~ φ.

Поставим задачу: найти возможные траектории в поле тяготения (поле притягивающего центра) тяготеющей массы (планеты, частицы). Имеем законы сохранения энергии и момента импульса. Запишем полную энергию системы

E = Tпоступат. + Твращат. + Uпотенциальн. = =(m)(dr/dt)²/2 + (mr²)(dφ/dt)²/2 + U = (L = mr²dφ/dt → dφ/dt = L/mr²) = (m)(dr/dt)²/2 + (L²/2mr²) + U

Здесь Е и L – числа в том смысле, что они константы (в поле центральных сил) как сохраняющиеся величины. Тогда

(m)(dr/dt)²/2 = E – U – L²/2mr² → dr/dt = [2(E – U)/m – (L/mr²)]½

Получим уравнение траектории в полярных координатах. Для этого используем выражение L=mr²dφ/dt и исключим dt из двух последних выражений

dr = [2(E – U)/m – (L/mr)²]½ (mr² dφ/L),
dφ = (Ldr/mr²)/[2(E – U) – (L/mr)²]½,
φ =∫ (Ldr/r²)/[2m(E – U) – (L²/r²)]½ + cst.

Выбором начала координат cst обращается в ноль (cst = 0), U = –α/r и d(1/r) = –dr/r²,

тогда

φ = –L∫ d(1/r)/[2mE + (2mα/r) – (L /r )]. (*)

Получился интеграл, который можно свести к табличному интегралу вида

φ = –∫ dx/(1-x²)½ = arccos x, где x = 1/r.

Решение представимо в виде

сosφ = [(L/r) – (mα/L)]/[2mE + (mα/L)²]½ . (**)

Здесь вычислен интеграл (*) и "взят" косинус от левой и правой частей.

Существует так называемое уравнение конических сечений. Оно представляется в полярных координатах как

r = p/(1 + e cosφ).

Выразим наше решение (**) явно через r

[2mE+(mα/L)²]½cosφ =(L/r)–(mα/L)→1/[(mα/L)+((2mE+(mα/L)²)½cosφ]=r/L.
r = (L²/mα)/[1 + L/mα(2mE + (mα/L)²)½cosφ].

Здесь p = L²/mα, e = [(2EL²/mα²) + 1]½…

Замечание. Здесь целесообразно расчётное задание для обучающихся.

Построить на одном листе миллиметровой бумаги разумного формата все четыре зависимости, дающие круг, эллипс, параболу и гиперболу с шагом 15°, начиная с в полярной системе координат, чтобы у всех кривых был единый центр…».

Таким образом, приходится констатировать отсутствие наглядной аналитической зависимости характеристик движения в виде функций времени, что в учебном процессе «компенсируется» пошаговыми вычислениями точек орбиты, дающими студентам возможность, во-первых, поближе познакомиться с изучаемым предметом, а, во-вторых, по достоинству оценить аналогичного рода труд самого Кеплера.

Ну, а как всё-таки обстоит дело с функциональными зависимостями динамических характеристик движения от времени? Чтобы получить ответ на этот вопрос, обратимся к «классическому» учебному пособию, используемому в педагогической практике многих вузов, в первую очередь, МГУ имени М.В.Ломоносова.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2001, сс.46-54:

«… Траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r и φ, напишем функцию Лагранжа в виде:

L = (m/2)[(dr/dt)² + r²(dφ/dt)²] – U(r). (14.1)

... Мы возвращаемся к известному уже нам закону сохранения момента

M=mr²(dφ/dt)=const. (14.2)

... Полное решение задачи о движении частицы в центральном поле проще всего получить, исходя из законов сохранения энергии и момента, не выписывая при этом самих уравнений движения…

...Выражая dφ/dt через M из (14.2) и подставляя в выражение для энергии, получим

E=(m/2)[(dr/dt)² + r²(dφ/dt)²] + U(r) = m(dr/dt)²/2 + M²/2mr² + U(r). (14.4)

Отсюда :dr/dt = √ {(2/m) [E – U(r)] – M²/m²r²} (14.5)

или, разделяя переменные и интегрируя

t = ∫ ﴾dr/√ {(2/m) [E – U(r)] – M²/m²r²}﴿ + const. (14.6)

Далее, написав (14.2) в виде

dφ = Mdt/mr²,

подставив сюда dt из (14.5) и интегрируя, находим

φ = ∫ ﴾ (M/r²)dr/√ {2m [E – U(r)] – M²/r²} + const . (14.7)

Формулы (14.6) и (14.7) решают в общем виде поставленную задачу. Вторая из них определяет связь между r и φ, т.е. уравнение траектории. Формула же (14.6) определяет в неявном виде расстояние r движущейся точки от центра как функцию времени…

Выражение (14.4) показывает, что радиальную часть движения можно рассматривать как одномерное движение в поле с «эффективной» потенциальной энергией

Uэф = U(r) + M²/2mr² . (14.8)

Величину M²/(2mr²) называют центробежной энергией…

Зависимость координат частицы от времени при движении по орбите может быть найдена с помощью общей формулы (14.6). Она может быть представлена в удобном параметрическом виде следующим образом.

…Запишем интеграл (14.6), определяющий время, в виде (α – константа, равная произведению гравитационной постоянной на массу Солнца, е – эксцентриситет эллиптической орбиты, а – большая полуось эллипса; – примеч. А.П.):

t=(√m/2|E|)∫{rdr/√[–r²+αr/|E|–M²/2m|E]}=(√ma/α)∫{rdr/√[a²e²–(r–a)²]}.

С помощью естественной подстановки

r – a = – ae cos ξ

этот интеграл приводится к виду

t=(√ma³/α)∫( 1– e cos ξ) dξ =(√ma³/α)(ξ – e sin ξ) + const.

Выбирая начало отсчёта времени так, чтобы обратить const в нуль, получим окончательно следующее параметрическое представление зависимости r от t:

r = a (1 – e cos ξ), t = (√ma³/α)(ξ – e sin ξ) (15.10)

(в момент t=0 частица находится в перигелии)».

Как видим, по основным позициям данный подход к решению Кеплеровой задачи аналогичен предыдущему. К сожалению, дополнительной ясности в физический смысл исследуемого динамического процесса он не вносит и от выполнения большого объёма вычислительных работ не избавляет.

Приведём ещё один вариант подхода к решению Кеплеровой задачи, рассматриваемый профессиональными математиками (в приводимом ниже фрагменте опубликованной работы мы сохраняем формулы и текст, касающиеся только случая эллиптических орбит).

Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. — М.: ВИНИТИ, серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т.3, 1985, сс. 64-67:

«Задача о движении точки в силовом поле с потенциалом U= –γ/r обычно называется задачей Кеплера…

1.2. Аномалии.

Для полного решения задачи Кеплера нам осталось найти закон движения по уже известным орбитам. Направим оси x и y по главным осям конического сечения, представляющего орбиту. Её уравнение можно представить в следующем параметрическом виде:

x = a (cos u – e), y = a [√(1–e²)] sin u, (0 ≤ е< 1). (3)

… Вспомогательная переменная u в астрономии называется эксцентрической аномалией, а угол φ между направлением на перицентр орбиты (ось х) и радиусом-вектором точки – истинной аномалией.

Имеет место следующая формула

tg (φ/2) = [√ (1+e)/(1–e)] tg (u/2).

... Подставляя формулу (3) в интеграл площадей x(dy/dt)–y(dx/dt)=c и интегрируя, получим соотношение между временем и эксцентрической аномалией

u – e sin u = n(t–tº), n =√γ/p³'² .

… Здесь – время прохождения точки через перицентр. Это уравнение называется уравнением Кеплера. Линейная функция ξ=n(t–tº) называется обычно средней аномалией. Таким образом, в эллиптическом случае задачи Кеплера мы должны решить трансцендентное уравнение Кеплера

u – e sin u = ξ .

Ясно, что при (0 ≤ е< 1) оно имеет аналитическое решение u(е,ξ), причём разность u(е,ξ)–ξ периодична по средней аномалии ξ с периодом . Для того, чтобы представить функцию u(е,ξ) в удобном для вычислений виде, можно избрать два пути:

(1)разложить функцию u–ξ при фиксированных значениях е в ряд Фурье по ξ с зависящими от е коэффициентами,

(2)можно попытаться представить u(е,ξ) в виде ряда по степеням эксцентриситета е с коэффициентами, зависящими от ξ » (авторы показывают, что в первом случае коэффициенты ряда представляются функциями Бесселя m-го порядка, 1≤ m≤∞, а при втором подходе коэффициенты ряда, представляющие собой тригонометрические полиномы средней аномалии ξ, могут быть получены с использованием известной формулы локального обращения голоморфных функций Лагранжа)".

Последний из представленных выше текстов мы отдельно комментировать не будем. Ниже дадим общие разбор и оценку существующих подходов к решению Кеплеровой задачи.

Неадекватность методологии замкнутых систем и векторно-тензорного формализма

Физики-теоретики при постановке и решении задач берут пример с математиков, хотя такое прямое подражание не всегда бывает к месту, особенно при ненадлежащем учёте специфики физических явлений и процессов.

Математик имеет право записать в начальные условия задачи, в разделе «дано», любые, даже самые невероятные вещи, и задача, тем не менее, приобретает шанс на существование, оставаясь (возможно, до поры до времени) кажущейся никому не нужной и лишенной смысла.

У физика положение иное: в «дано» он имеет право вносить только результаты ранее решённых задач, прошедших проверку практикой. Соблюдается ли это в приведённых выше примерах «решения» Кеплеровой задачи?

Нет, вместо обоснованного выбора методологии и рабочего инструмента (математического аппарата) для решения данной задачи, теоретики ограничиваются сообщением: «напишем функцию Лагранжа в виде …». Естественно, этим они заведомо признают исследуемую динамическую систему замкнутой, а своим рабочим инструментом безальтернативно определяют векторно-тензорное исчисление.

Возможен вопрос: почему именно «замкнутой»? Давайте попробуем представить себе функцию Лагранжа открытой системы, скажем (как в нашем случае), систему с внешним воздействием силы тяготения, равным F(t)=α/r², где α – известная константа (в цитированной выше работе математиков она обозначалась буквой γ), а r=r(t) – переменное во времени расстояние до центра тяготения.

Внешняя сила на входе системы инструментально измеряема и соответствует закону всемирного тяготения. Значит, задача состоит в том, чтобы, исходя из анализа её физической сути, определить полный состав внешних и внутренних сил, действующих в системе, и, используя общий баланс этих сил как уравнение движения, найти динамические характеристики системы (координаты, скорости, ускорения, энергетические показатели).

Однако физики-теоретики предлагают пойти обратным путём. Давайте, говорят они, сначала составим для этой системы функцию Лагранжа, а затем с её помощью (используя аппарат частного дифференцирования, что при двух и более измерениях как раз и означает применение тензорного исчисления) составим уравнение движения, которое, возможно, и решать не придётся ввиду ставших очевидными ответов на любые интересующие нас вопросы.

Допустим, что такой подход также правомерен. Однако, каким образом открытая система будет сведена к замкнутой, т.е. как в функции Лагранжа будет учтено внешнее воздействие F(t)=α/r²? Нам отвечают: поскольку система движется в центральном поле, то достаточно будет включить в функцию Лагранжа дополнительное слагаемое в качестве потенциальной энергии U=–α/r, где r=r(t) – уже упоминавшееся выше (переменное во времени и пока нам не известное) расстояние до центра тяготения, которое и необходимо найти путём решения задачи.

Но, позвольте, какое отношение указанная величина потенциальной энергии U=–α/r имеет к взятой нами из закона всемирного тяготения величине силы тяготения F(t)=α/r²? Величину потенциала U=–α/r получают интегрированием функции F(t) по пути (мысленного) перемещения тела из бесконечно удалённой точки в заданную точку, заметим, в режиме свободного падения по некой параболической траектории, т.е. решая совсем иную задачу. В той задаче есть возможность не только интегрировать силу тяготения по перемещению, получая в результате данный потенциал, но и выполнять обратную операцию дифференцирования гравитационного потенциала по перемещению тела, снова возвращаясь к формуле закона всемирного тяготения.

А векторно-тензорное исчисление, на котором базируется вариационный принцип наименьшего действия с его аппаратом лагранжианов-гамильтонианов, к сожалению, такой возможности предоставить уже не может. Прежде всего, потому что дифференцирование здесь не ньютоново «классическое», а ковариантное, «символическое», т.е. «универсальное» в том смысле, что не зависит от выбранной системы координат, а значит, не имеет и обратной процедуры, которую можно было бы назвать «символическим интегрированием».

Более того, в результате априорного выбора функции Лагранжа без предварительного анализа физической сути задачи и без учёта её специфики, частное дифференцирование происходит по направлениям ортов системы координат, не совпадающим с направлениями в пространстве, вдоль которых реально действуют внутренние силы в системе. Направления силовых воздействий, если и совпадают с направлениями ортов системы координат в каких-то точках орбиты, то чисто случайно, не в соответствии, а вопреки данной методологии и, естественно, с неизбежными искажениями и потерями в качестве решения задачи. Рассмотрим это подробнее на примере нашей задачи.

Хотя при выбранной системе координат сила притяжения неизменно действует вдоль полярного радиуса в сторону центра притяжения (начала координат), однако, реально эта сила разделяется на две перпендикулярные составляющие, воздействующие на движущееся тело в двух направлениях: по касательной к траектории (ускоряя или замедляя движение) и по нормали к траектории в сторону центра кривизны орбиты (этим изменяя направление движения).

При этом мгновенный центр кривизны орбиты оказывается на полярной оси лишь дважды за полный оборот, а, именно, при прохождении телом вершин эллипса на большой оси орбиты. Поэтому-то направление силы тяготения практически нигде не совпадает ни с одним из ортов выбранной аналитиками системы координат (за исключением двух указанных выше двух точек орбиты). В то же время методология лагранжианов-гамильтонианов (или методология замкнутых систем, что то же самое!) предусматривает частное дифференцирование функции Лагранжа (включая и добавленный в неё потенциал U=–α/r) исключительно по ортам выбранной системы координат, т.е. в данном случае – по направлениям к центру притяжения и перпендикулярно ему, но никак не по касательной и нормали к траектории (эти направления в виде функций времени нам заранее не известны). Значит, данная методология преднамеренно игнорирует тот факт, что в расчётные величины действующих сил (а, значит, и в другие динамические характеристики системы) вносятся неконтролируемые искажения. Что представляют собой эти искажения?

В разных публикациях мы уже неоднократно рассматривали похожий случай (из 1-го тома учебного пособия Ландау-Лифшица, 2001, с.83), когда для режима вынужденных колебаний (заметим, речь идёт об открытой системе!), при заданном внешнем воздействии в виде функции времени F(t), в функцию Лагранжа вносится дополнительная потенциальная энергия, равная xF(t), где x – одномерная координата колебательного процесса.

Критикуя такой подход, мы показываем, что частным дифференцированием произведения переменных во времени величин x(t)•F(t) по переменной величине x(t), которая является решением уравнения движения системы и поэтому зависит от входного воздействия F(t), «восстановить» её (в том виде, в каком аналитики включили её в «придуманное» ими новое слагаемое функции Лагранжа в целях приведения открытой системы к замкнутой) невозможно. Действительно:

∂(xF)/∂x = F(t) + x(t) ∂F/∂x = F(t) + ∂F/∂(lnx) ≠ F(t).

Однако после публикации статьи «Дефекты математической культуры в теоретической физике» в Научном журнале Энциклопедии Большого Форума с приведёнными выше соображениями, один из оппонентов высказал несогласие с нашей критикой (http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/):

«…Подчеркнём, что принципиально необходима возможность определения функции Лагранжа вне реальной траектории физической системы, а именно, на виртуальных траекториях (при малых, но ненулевых ). Сколь бы тривиальны и общеизвестны ни были эти пространные рассуждения, но в Научном журнале есть две статьи, которые противоречат этим простым принципам. Ошибка (вероятно, несущественная для решения общей задачи статьи) в [10] (статье Петрова А.М.) заключена в словах: «Координата x(t), являясь решением уравнения движения, зависит от внешнего воздействия F(t). В итоге, эти две функции времени оказываются взаимозависимыми, и поэтому частная производная по координате x(t) от произведения функций x(t)∙F(t) отнюдь не равняется F(t)», где речь идёт о преобразовании вклада в Лагранжеву функцию от вынуждающей силы, x(t)∙F(t). Видно, что соотношение для x(t), которое на физической траектории заведомо выполнено, на виртуальной траектории не соблюдается, т.е. указанное преобразование функции Лагранжа незаконно (а соответствующее место в книге [1] («Механика» Ландау-Лифшица) , невзирая на критику в [10], – правильное)...»

Ab Ovo или "...а Лагранж – против"

Ну что же, попытаемся к этому же вопросу подойти с другой стороны. При этом будем исходить из первичности физического смысла величин, используемых в математических выкладках. Итак, задано входное силовое воздействие на систему F(t). Энергия, которую приобретает система в результате такого входного воздействия, на элементарном участке перемещения dx, равняется величине элементарной работы F(t)dx. На конечном участке от 0 до x приобретённая системой энергия составит величину (интеграл целесообразно брать с переменным верхним пределом):

E = ∫ F(t)dx.

Мы утверждаем, что взять этот интеграл, не зная вида функции x(t), т.е. не решив предварительно уравнение движения системы, невозможно. А Ландау и Лифшиц «берут» и получают величину xF(t). В этом и состоит допускаемая ими математическая некорректность, на которую они сознательно идут, не желая признавать несостоятельность методологии лагранжианов-гамильтонианов (или принципа наименьшего действия) для открытых систем.

Всё вышесказанное относится и к рассматриваемой нами задаче эллиптического движения. Здесь мы также имеем дело с открытой системой (небесным телом, испытывающим внешнее гравитационное воздействие), и вновь теоретики (и вновь неудачно) пытаются «перехитрить» природу, выдавая открытую систему за замкнутую.

Величина U(r), которую теоретики произвольно предлагают считать внутренней (потенциальной) энергией системы, на самом деле является энергией обмена движущегося небесного тела с гравитационной средой: приближаясь к массивному телу, малое тело набирает скорость и энергию, а, удаляясь от него, теряет. При этом бессмысленно устанавливать для указанного энергетического обмена «закон сохранения» в виде некоторой фиксированной суммы кинетической и потенциальной энергии: у большого тела этой энергии, по отношению к малому телу, «бесконечно много», так что изъятие или возвращение ранее изъятой (конечной по меркам малого тела) энергии для большого тела совершенно неощутимо. А вот для малого тела подсчитать, сколько энергии оно в состоянии позаимствовать из внешней среды, при различных режимах движения, надо уметь. А умеет ли это делать теоретическая механика в её нынешнем состоянии?

Мы утверждаем, что величина U(r)=–α/r совершенно необоснованно и ошибочно вводится в состав исходных данных для решения Кеплеровой задачи. Частное дифференцирование этой функции по полярной координате r(t), даже если бы мы знали заранее правильное решение задачи, не может правильно определить направления и абсолютные величины действующих в системе внутренних сил (напомним, направленных по касательной и нормали к траектории в любой точке орбиты), поскольку нигде, кроме двух точек орбиты, орты неподвижной полярной системы координат с направлениями внутренних сил не совпадают,

В связи с этим ещё раз подчеркнём: для открытых систем «обратный» порядок расчёта динамических характеристик, начинающийся с принятия некой величины энергии, которая должна сохраняться неизменной в процессе движения, принципиально неприемлем. Только решив уравнение динамического силового баланса системы, можно приступать к интегрированию известных сил по известному пути движения системы. И только так можно определить истинные значения её энергетических характеристик, но никак не наоборот.

Мнимая «универсальность» лагранжева формализма оборачивается фактическим игнорированием физической сущности решаемой задачи и подменой её упрощённым суррогатом, недоброкачественность которого прикрывается искусственно воздвигаемыми (и якобы неизбежными) головоломными формульными выкладками и необозримыми объёмами вычислений. А, главное, если мы всё-таки наберёмся терпения и сил, чтобы выполнить этот предлагаемый нам теоретиками вычислительный «сизифов труд», то в конце пути мы окажемся с тем же объёмом знаний об исследуемом предмете, с которым этот путь начинали.

Мы обнаружим лишь «подгонку» плоскостного движения под известный вариант одномерного, для которого соблюдается закон изменения потенциальной энергии U(r)=–α/r, взятый аналитиками для Кеплеровой задачи «с потолка». Попросту говоря, при старательно созданной теоретиками видимости научного подхода к решению задачи, нам вместо настоящего решения предлагается всего лишь «соска-пустышка», которой успокаивают, а, по сути, обманывают детей, в роли которых в данном случае выступает научная (и не только научная) общественность.

В своё время векторно-тензорное исчисление предлагалось в качестве рабочего инструмента для перехода от анализа одномерного движения к анализу движений в многомерных пространствах, при необходимости – вплоть до бесконечномерных. И вот оказывается, что даже при двух измерениях, при анализе движения на плоскости, решение задачи с помощью этого аппарата, мягко говоря, проблематично. «Тактика» сокрытия неустранимых недостатков методологии, основанной на тензорном исчислении, проста до примитивности: если для исследования предъявляется открытая система, то следует её искусственным приёмом свести к замкнутой,. Соответственно, если предстоит исследовать многомерное движение, то следует его искусственным приёмом «подогнать» под одномерный аналог.

То, что движение на плоскости имеет специфические особенности, требующие для их анализа более совершенного математического аппарата, можно продемонстрировать на простом примере.

Возьмём частный случай эллиптического движения – кругового, заданного параметрически: x = r cos ωt, y = r sin ωt, где ω – угловая скорость. Полагаем, что некое массивное тело поддерживает данный режим движения малого небесного тела силой гравитации, описываемой уравнениями:

d²x/dt² = –rω² cos ωt, d²y/dt² = –rω² sin ωt.

Ясно, что для вращающегося тела внешнее воздействие тоже становится вращающимся. Так, во вращающейся синхронно с телом системе координат само тело неподвижно, а внешняя сила гравитации совершает обратное вращение. Посмотрим, можно ли для небесного тела, находящегося на круговой орбите под действием гравитационного силы F(t)=α/r², ввести некую потенциальную функцию U(r). Чтобы такую функцию можно было ввести, силовая функция

(–rω² cos ωt) dx + (–rω² sin ωt) dy

должна быть полным дифференциалом, для чего необходимо и достаточно соблюдения следующего тождества:

d(–rω² cos ωt)/dy ≡(?) d(–rω² sin ωt)/dx или ω² tg ωt ≠(!) ω² ctg ωt.

Как видим, указанное тождество не соблюдается, т.е. своим вращением (обращением вокруг массивного тела) малое небесное тело превращает (естественно, только для себя) внешнее гравитационное поле в непотенциальное (вихревое). Это служит ещё одним подтверждением того, что введение потенциальной энергии U=–α/r, взятой из другой задачи, в исходные условия для Кеплеровой задачи, неправомерно.

Здесь же отметим, что факт непотенциальности внешнего гравитационного поля для тела на круговой орбите выше был установлен с применением аппарата частных производных, т.е. средствами, входящими в состав векторно-тензорного инструментария. Однако для какого-либо дальнейшего оперирования с вихревыми полями, кроме констатации их вихревого характера, векторно-тензорный аппарат изначально не приспособлен, хотя он и применяется, например, в электродинамике (на наш взгляд, нанося этому разделу теоретической физики больше вреда, чем пользы). По большому счёту, для адекватного описания движений, связанных с вращениями, необходим более совершенный аппарат алгебр с векторным делением, о чём речь ещё пойдёт ниже.

А сейчас хотелось бы обратить внимание на неприглядную роль математики (естественно, в лице конкретных математиков), выступившей в роли такой же «служанки» нынешней, застрявшей в своём развитии на уровне науки ХIХ века, теоретической физики, какою на протяжении ХХ века являлись (и, к сожалению, до сих пор являются) общественные науки по отношению к деятельности «власть предержащих» лиц и групп. Вот как выглядит «математическое обоснование» правомерности редукции плоскостной Кеплеровой задачи в одномерную.

«Движение материальной точки (массы 1) в центральном поле на плоскости определяется уравнением
d²ř/dt² = Ф(r)ē ۭ

где ř – радиус-вектор с началом в центре поля О, r – его длина, ēr – его орт. Будем считать нашу плоскость вложенной в трёхмерное ориентированное евклидово пространство.

Определение. Моментом количества движения (или кинетическим моментом) материальной точки единичной массы относительно точки О называется векторное произведение

M=[ř, dř/dt].

…Введём на нашей плоскости полярные координаты r, φ с полюсом в центре поля О… Разложим вектор скорости dř/dt по базису ēr , ēФ

…Закон сохранения кинетического момента позволяет свести задачу о движении в центральном поле к задаче с одной степенью свободы. Благодаря этому движение в центральном поле можно исследовать полностью…

Теорема. При движении материальной точки в центральном поле её расстояние от центра поля меняется так, как r в одномерной задаче с потенциальной энергией

V(r) = U(r) + M²/2r².

Доказательство. Дифференцируя доказанное в §7 соотношение

dř/dt =(dr/dt)ēۭr + r(dφ/dt)ēФ,

находим

d²ř/dt² = [d²r/dt² – r(dφ/dt)²]ēr + [2(dr/dt)(dφ/dt) + r(d²φ/dt²)]ēφ.

Ввиду центральности поля

∂U/∂ř = ∂U/∂r ēr .

Поэтому уравнение движения в полярных координатах принимает вид

d²r/dt² – r(dφ/dt)² = –∂U/∂r ,
2(dr/dt)(dφ/dt) + r(d²φ/dt²) = 0.

Но по закону сохранения кинетического момента

dφ/dt = М/r²,

где М – не зависящая от t постоянная, определяемая начальными условиями.

Поэтому

d²r/dt² = –∂U/∂r + r М²/r² или d²r/dt² = –∂V/∂r, где V = U + М²/2r².

Величина V(r) называется эффективной потенциальной энергией.

Замечание. Полная энергия в полученной одномерной задаче

E = (dr/dt)²/2 + V(r)

совпадает с полной энергией в исходной задаче

E = (dr/dt)²/2 + U(r).

…Полная энергия в полученной одномерной задаче сохраняется. Следовательно, зависимость r от t определяется квадратурой …

φ = ∫ (М/r²)dr/{√ 2[E – V(r)]}».

— Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1989, сс. 32-35

Обратите внимание на критерий правомерности сведения двумерной задачи к одномерной: «расстояние от центра поля меняется так, как r в одномерной задаче». Хочется спросить: ну, и что из этого следует? Разве во втором измерении не происходит ничего существенного и ничего представляющего теоретический и практический интерес? А, главное, как же реализуется созданный самой природой хитроумный механизм взаимосвязи двух измерений? Иначе говоря, какова физическая сущность задачи? И почему эту сущность позволительно столь примитивным образом игнорировать, да ещё и оправдывать допускаемый теоретический произвол, прикрывая его авторитетом математики?!

Решение Кеплеровой задачи на основе алгебры с делением

Кратко сформулируем основные исходные положения дальнейшего исследования. Анализируемое движение – двумерное, поэтому адекватный математический аппарат – алгебра с делением в виде комплексных чисел.

За «равновесное состояние» принимаем частный случай эллиптического движения – круговое: x=(r)exp(iωt)=(p)exp(iVpt/r²), где r – радиус вращения (при круговом движении он равен радиусу кривизны p); ω – угловая скорость, t – время, V – линейная скорость). Произведение Vp=М, представляющее собой момент импульса, в данной записи играет роль «обобщённой угловой скорости», а выражение t/r²=τ – соответственно «обобщённого времени».

Ориентируясь на полярное уравнение конического сечения, путём конформного преобразования, введём в качестве координаты величину, обратную расстоянию до центра притяжения (однако, для более привычного восприятия, сохраним положительное направление вращения). В итоге получим триаду обобщённых характеристик движения (координату x, скорость v и ускорение w; последние получаем обычным,однократным и двукратным, дифференцированием координаты x по времени τ):

1. x = (1/p)exp(iMτ).
2. v =(iV)exp(iMτ).
3. w = (–V²p) exp(iMτ).

Теперь остановим вращение, перейдя к системе координат, вращающейся синхронно с исходным вращением. Тогда триада векторов (обобщённые координата, скорость, ускорение) лишатся своих фазовых множителей вращения exp(iМτ), т.е. будут сохранять неизменным своё положение в пространстве, с соответствующим сдвигом на 90° (второго относительно первого, а третьего относительно второго). При этом третьему (обобщённому силовому) вектору, имеющему физический смысл центробежного ускорения, умноженного на квадрат расстояния от центра притяжения до точки его приложения, будет противостоять (уравновешивать его) вектор обобщённого ускорения - силы притяжения, приведённой к единичной массе движущегося по орбите тела и помноженной на квадрат расстояния от центра притяжения до точки его приложения. В сумме оба вектора составят обобщённый силовой баланс:

(–V²p) + α = 0.

Физически этот силовой баланс представляет собой внутренне напряжённую динамическую структуру, устойчиво удерживающую взаимное расположение центра кривизны орбиты и центра притяжения тела (которые при круговом движении совмещены друг с другом).

Введём вектор, начало которого будет находиться в центре притяжения, а конец – в центре кривизны. В исходном положении, при движении тела по окружности, этот вектор равен нулю. А теперь представим себе, что в силу каких-либо причин (о которых разговор пойдёт ниже), этот вектор оказался не равным нулю. Его направление на плоскости может быть произвольным, но, чтобы с чего-то начать анализ этого явления, допустим, что он направлен вдоль полярной оси в ту же сторону, что и находящийся в данный момент времени на этой же оси неподвижный (без фазового множителя вращения) вектор x = (1/p).

Условно (вроде бы «случайно», но за эту «случайность» надо поблагодарить Лаланда, открывшего уравнение конического сечения) примем вектор отклонения центра кривизны от центра притяжения равным е/p, где е – произвольное действительное число, находящееся в пределах 0 ≤ е< 1. Теперь зададимся вопросом, как физически можно добиться отклонения центра кривизны орбиты от центра притяжения вдоль полярной оси (в данном случае влево по оси абсцисс)? Понятно, что это можно сделать путём увеличения вектора линейной скорости тела в направлении мнимой оси, на которой исходно находится вектор скорости v =iV, на величину iVе. Понятно также, что увеличение обратной величины расстояния до центра притяжения (равносильное приближению этого центра) вызовет увеличение (по абсолютной величине) обобщённой силы притяжения (–V²p) на величину (–V²еp).

Как видим, между членами образовавшейся новой триады существует такая же дифференциально-интегральная связь, как и между членами первоначальной триады. Иначе говоря, вторая триада представляет собой динамические характеристики ещё одного вращения, возникающего на основе исходного кругового движения и налагающегося на него, в результате чего круговая орбита преобразуется в эллиптическую.

Примем исходное взаимное расположение двух триад из шести векторов за нулевую фазу общего движения тела по орбите. Понятно, что нулевая фаза будет соответствовать положению тела в вершине на большой оси эллипса.

Итак, каждое из двух круговых движений поддаётся анализу по отдельности: абстрагируясь от одного, получаем триаду основных динамических характеристик второго вращения и наоборот. Заметим также, что в обычной, не вращающейся системе координат векторы динамических характеристик второго вращения сохраняют неизменное положение в пространстве (этот факт далее послужит основанием для важного вывода).

Итак, триады динамических характеристик двух вращений в нулевой фазе взаимного вращения находятся в попарно совмещённом состоянии. Посмотрим, как поведёт себя новая триада векторов (е/p, iVе, –V²еp) при последующем повороте в противоположных направлениях, в привязке к реальному времени.

При смещении тела с вершины на большой оси эллипса центр кривизны орбиты также смещается с этой оси, а при фазе 90° вектор смещения становится «чисто мнимым». В этом случае расстояние до центра притяжения становится равным параметру p. Соответственно, обобщённая сила притяжения восстанавливается до исходной величины (–V²p), однако при этом она «расщепляется» на две составляющие, которые проявляют себя по-разному. Составляющая, действующая вдоль касательной к траектории, в соответствии со вторым законом Ньютона, приводит к уменьшению (на симметричной половине эллипса – к увеличению) линейной скорости и при этом полностью уравновешивается силой инерции тела, сопротивляющейся изменению скорости. Составляющая же, действующая по нормали к траектории, уравновешивается по иному закону – закону вращения, т.е. возникающей по этому закону центробежной силой. Обе противостоящие друг другу силы достигают минимального значения в вершине эллипса на его малой оси. При фазе же 180° (на другой вершине большой оси эллипса) члены обеих триад попарно противостоят друг другу.

Таким образом, получаем следующие уравнения для координаты α, скорости β и ускорения γ во вращающейся системе координат:

α = (1/p) + (е/p)exp(–iМτ),
β =(iV) + (iVе)exp(–iМτ),
γ = (–V²p) + (–V²еp)exp(–iМτ).

То же решение, но в обычной, не вращающейся системе координат и в приведённом к расстоянию до центра притяжения масштабе времени выглядит так:

x = (1/p)exp(iМτ) + (е/p),
v =(iV)exp(iМτ) + (iVе),
w = (–V²p)exp(iМτ) + (–V²еp).

Представить это движение в обычной, не вращающейся системе координат и в реальном времени t можно путём подстановки τ=t/r². Однако нас интересует не только вид связи величин t и τ в каждой изолированной точке орбиты, но и их совместное изменение в «накопительном режиме», начиная с нулевого момента времени и, по крайней мере, до завершения полного оборота вокруг центра притяжения, а затем и далее.

Здесь мы не будем открывать ничего нового, но всё же категорически отвергнем искусственное привязывание к данному процессу «закона сохранения энергии» вместо исследования реально происходящего энергообмена между движущимся по орбите телом и внешним источником. Именно применение в выкладках и расчётах величины так называемой «полной энергии системы» Е, включающей, кроме кинетической энергии движущейся массы, также «отрицательную» (!?) энергию внешнего источника, превращает саму величину Е в физически абсурдную отрицательную константу.

Покажем, как можно обойтись без этого искусственного методологического приёма (к сожалению, рекомендуемого к применению существующими учебниками и учебными пособиями для студентов физических специальностей вузов).

Поскольку нам известна секториальная скорость «заметания» радиусом-вектором площади эллипса (она равна половине момента импульса тела М), то достаточно в каждый момент времени знать, какая величина площади эллипса уже «заметена», чтобы делением этой величины на секториальную скорость найти затраченное на это время. Собственно, так и вычисляются периоды обращения для эллиптических орбит по третьему закону Кеплера.

Для численного примера примем следующие исходные данные. Масса центрального тела m=6•10^24 (кг), масса обращающегося по эллиптической орбите тела считается единичной. Гравитационная постоянная G=6,673•10^-11 (м³/кг•с²). Эксцентриситет эллиптической орбиты е=0,5. Большая полуось эллиптической орбиты а=3,84•10^8 (м).

Находим величину параметра конического сечения р=а(1–е²)=3,84•10^8(1–0,25)=2,88•10^8 (м). Величины М и V определяются из условия равенства центробежного и центростремительного ускорений в любой из вершин эллипса на его большой оси, в которых радиус кривизны орбиты равен параметру р:

ν²/р=Gm/r². Откуда: М=νr=√(Gmр и далее V=√(Gm/р).

В данном числовом примере значения этих величин таковы:

М=√(6,673•10^-11•6•10^24•2,88•10^8)=3,4•10^11 (м²/с); V=√(6,673•10^-11•6•10^24/2,88•10^8)=1,18•10^3 (м/с).

Общая площадь орбитального эллипса равна:

S=πа²√(1–е²)=3,14•3,84²•10^16•√0,75=4•10^17 (м²).

Таким образом, полный период обращения равен:

Т=2S/М=πа²√(1–е²)/√(Gmр)=2π√(а³/Gm)=2,36•10^6 секунд=27,31 суток.

Движение между противоположными вершинами на большой оси эллипса занимает по времени полупериод

Т/2=1,16•10^6 секунд=13,655 суток.

Теперь найдём площадь эллипса, «заметаемую» радиусом-вектором при изменении фазового угла от нулевого значения до произвольного угла φ (0<φ<π). Для этого воспользуемся табличными интегралами из справочника «Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: Наука, 1966, с.94»:

446.03. ∫dx/(а+bсоsx)²=bsinx/(b²–а²)(а+bсоsx) – [a/(b²–а²)] ∫dx/(а+bсоsx).

446.00. ∫dx/(а+bсоsx)=2/(а²–b²)arctg[(a–b)tg(x/2)/√(а²–b²)].

Интегрируя по фазе от нуля до φ (с переменным верхним пределом), находим величину «заметаемой» площади эллипса:

s=(1/2)∫р²dφ/(1+есоsφ)²=(р²еsinφ)/2(е²–1)(1+есоsφ)–р²/(е²–1)(√1–е²)аrсtg[(1–е)tg(φ/2)/(√1е²)].

В частности, для φ=π/2, е=0,5 и р=2,88•10^8 м получаем s=3,92•10^16 м². На это движение затрачивается времени t=2s/М=2,3•10^5 секунд=2,67 суток, что составляет 19,6% от полупериода обращения по эллиптической орбите (на круговой орбите аналогичная величина составляла бы 50%). Таков результат неравномерности движения по эллиптической орбите.

Так устанавливается зависимость фазы обращения (угла φ) от реального времени. Что касается изменения того же угла φ как функции обобщённого времени τ, то эта зависимость предельно проста, а, именно: φ=Мτ или τ=φ/М, что весьма удобно для изучения «более тонких» свойств данного движения. Заметим, что неравномерность течения обобщённого времени τ относительно реального времени t вполне компенсируется неизменностью обобщённой фазовой скорости, в роли которой выступает момент импульса М (равный удвоенной величине секториальной скорости): d(Мτ)/dτ=М=соnst. А это равносильно представлению неравномерного эллиптического движения в виде равномерного кругового.

Возникает вопрос принципиального характера: в какой мере взаимосвязь между переменными характеристиками движения по эллиптической орбите отвечает понятию «аналитической зависимости». Изначально в задаче Кеплера присутствуют три характеристики: расстояние от центра притяжения до точки на орбите r, угол отклонения радиус-вектора точки от направления большой оси φ и время t. Уравнение конического сечения устанавливает функциональную связь между r и φ (используя функцию арккосинус, можно представить это уравнение и в виде зависимости φ от r). Зависимость t от φ выражается через интеграл, представляющий площадь эллипса, «заметаемую» радиус-вектором точки в процессе движения (с последующим делением результата вычислений на секториальную скорость – константу). Обратная зависимость представляется тем же интегралом, но уже в виде интегрального уравнения.

Являются ли две последние формы записи достаточными для констатации получения аналитической зависимости? Для практического применения – нет, поскольку необходимо ещё пройти этап вычисления интеграла или решения уравнения с соответствующим количеством вычислений. Но без вычислений нельзя обойтись даже в случае явно выраженной функциональной зависимости между величинами. Так что объём вычислительной работы в данном случае критерием служить не может.

А теперь посмотрим, как этот вопрос решает сама математика. Сошлёмся на Большую Советскую Энциклопедию (http://bse.sci-lib.com/article053363.html):

«Аналитические функции – функции, которые могут быть представлены степенными рядами… Класс А. ф. замкнут относительно основных операций арифметики, алгебры и анализа; применение арифметических действий к функциям этого класса, решение алгебраических уравнений с аналитическими коэффициентами, дифференцирование и интегрирование А. ф. приводят снова к А. ф. …Существуют различные подходы к понятию аналитичности. В основе одного из них, впервые развитого Коши и далеко продвинутого Риманом, лежит структурное свойство функции — существование производной по комплексному переменному, или комплексная дифференцируемость. Этот подход тесно связан с геометрическими соображениями. Другой подход, систематически развивавшийся Вейерштрассом, основывается на возможности представления функций степенными рядами; он связан, тем самым, с аналитическим аппаратом, которым может быть изображена функция».

Итак, если под знаком интеграла или дифференциала находится функция, представимая разложением в степенной ряд, то мы имеем дело с аналитической зависимостью, даже если воспользоваться ею можно только в результате решения интегрального уравнения. В задаче Кеплера мы имеем дело только с такими функциями.

В свете вышесказанного переход от реального к обобщённому времени ничего в задаче Кеплера принципиально не меняет. Тем более не меняет переход к функциям комплексного переменного. А вот к тому, какие при этом мы получаем практические выгоды, следует отнестись со всей серьёзностью: ведь мы получаем более совершенный инструмент для анализа и, главное, синтеза динамических систем с принципиально новыми свойствами, реализующими на практике идеи создания и широкого развития гравитационной энергетики и безопорного движения.

Напомним, как выглядит исходное полярное уравнение конического сечения, которым мы руководствовались в процессе решения задачи (не «подгоняя» ответ под это уравнение, а, напротив, раскрывая заключённый в нём более глубокий физический смысл): r = p/(1+е cosφ).

Отметим, что постановка и решение Кеплеровой задачи для небесных тел как открытых систем позволяет внести некоторую ясность в вопрос о том, каким образом круговые орбиты могут превращаться в эллиптические. Если круговое движение малого тела вокруг большого небесного тела можно трактовать как состояние равновесия колебательной системы при отсутствии в ней свободных колебаний, то движение по эллиптической орбите означает наличие в системе именно таких свободных колебаний с амплитудой е/p.

В космологических масштабах времени, однако, остаётся открытым вопрос о том, находится ли амплитуда этих колебаний (е/p) постоянной или медленно изменяется? На то, что имеет место последнее, указывает следующее обстоятельство.

Мы показали выше, что свободные колебания небесного тела как динамической системы представляются следующей триадой векторов, связанных дифференциально-интегральной зависимостью (обнаруживаемой во вращающейся системе координат), а, именно:

1) вектором обратной величины смещения центра кривизны орбиты от центра тяготения;
2) вектором линейной скорости на базовой круговой орбите;
3) вектором обобщённого (помноженного на параметр конического сечения или радиус кругового движения) центробежного ускорения на базовой круговой орбите.

Эта триада векторов для внешнего наблюдателя сохраняет неизменным своё положение в пространстве (для планет солнечной системы – в плоскости эклиптики). Но внешнее (по отношению к солнечной системе) постоянное по направлению гравитационное воздействие для планеты на орбите имеет вид переменного, т.е. изменяющегося по закону обратного вращения, относительно направления реального обращения планеты вокруг Солнца, или на частоте свободных колебаний системы. В результате система самим своим вращением настраивается на режим резонансного накопления поступающей извне энергии, при котором амплитуда колебаний (е/p) возрастает со скоростью, пропорциональной величине внешнего воздействия, с одновременным «вытягиванием» большой оси эллипса в направлении, перпендикулярном направлению внешнего воздействия. И, действительно, данные астрономических наблюдений показывают, что направления больших осей эллиптических орбит планет солнечной системы располагаются перпендикулярно направлению на созвездие Стрельца (или центр Галактики). Это свидетельствует в пользу того, что эксцентриситеты планетных орбит под гравитационным галактическим воздействием, хотя и крайне медленно, но возрастают. С другой стороны, малые величины этих эксцентриситетов должны означать, что Солнечная система, по космологическим масштабам времени, ещё сравнительно молода.

Заключение

«Лагранжев метод имеет основополагающий характер и является фундаментом современной теоретической физики», – пишет наш оппонент, и это мы можем только подтвердить. Не будем оспаривать и следующий его тезис:

«…По историческим причинам, трудно сомневаться в научной объективности и добросовестности работ Лагранжа. Лагранж никак не мог быть членом комиссии Круглякова, членом религиозной секты Ландау-Гинзбурга, иностранным членом Его Императорского Величества Российской академии наук и никогда не публиковался в научных журналах РАН»

http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/Ab_Ovo_или_%22...а_Лагранж_-_против%22

.

И всё-таки, всё-таки …

Сменяются эпохи – меняются критерии оценок. Вопрос теперь только в том, сколько времени нам ещё оставаться в ХIХ веке. И вопрос этот сугубо практический.

В 1997 году мною была подана в государственное патентное ведомство (Роспатент) заявка № 97111689/06 на предполагаемое изобретение «Способ получения и использования гравитационной энергии в форме движения рабочей машины, транспортного средства или летательного аппарата» с приоритетом от 15 июля 1997 года.

И огорчило не столько само получение «отказного» решения Роспатента по заявке, сколько удручающе убогий уровень обоснования этого решения, а, именно, со ссылкой на формулу для величины гравитационного потенциала E=mgh из школьного учебника физики издательства «Просвещение» и с заключительной фразой о том, что заявка «противоречит общепринятым положениям науки».

В поданной мною апелляции было высказано недоумение: а как же быть с приведёнными автором заявки математическими выкладками и расчётами? Это не к нам, ответили в Роспатенте, это – в Академию наук.

Ни на одно из писем по тематике заявки, адресованных Президенту РАН, автор ответа не получил: все они в академической канцелярии «затерялись». Только на письмо, посланное через канцелярию Администрации Президента страны, из одного из Институтов РАН пришла формальная отписка, показавшая только то, что выше нынешней «научной бюрократии» в стране сейчас никого и ничего нет.

С 2005 года по настоящее время на имя ректора МГУ (с 2008 года он же –вице-президент РАН) В.А.Садовничего мною было послано более десятка писем с приложенными к ним научными публикациями. Ни на одно из этих писем ректор МГУ не ответил.

Так кто же Вы после этого, господа высшие чиновники от науки, если не научные мошенники?!

Послесловие

К сожалению, прошли те времена, когда «лицо науки» определяли большие учёные. Теперь официальная наука – это «феодальная вотчина» клановой группировки «научных воров в законе», умеющих лишь хорошо ставить свои, якобы соавторские, подписи под чужими научными работами. Ну, а у «научного раба» не так уж много возможностей для подлинного научного творчества: его удел – усиленно «грести» в строго указанном направлении. Чтобы убедиться в этом, достаточно сопоставить и объективно оценить личный и в «соавторстве» вклад в науку нынешних первых (на протяжении последних 20 лет) руководителей официальной академической и вузовской науки – Осипова Ю.С. и Садовничего В.А.

У меня не только личные («субъективные») мотивы, но и вполне достаточные объективные основания объявить указанных выше лиц научными мошенниками. Первый с 1999 года, а второй с 2005 года не ответили (в нарушение законодательства Российской Федерации!) ни на одно из десятка официально посланных им писем, содержавших критику сложившего положения в точных науках и прямо относившихся к сфере их профессиональной компетенции как математиков (докторов физико-математических наук). К этим письмам прилагались печатно изданные научные работы, содержавшие конструктивные предложения по разработке перспективных систем гравитационной энергетики и безопорного движения с соответствующими математическим выкладками и расчётами.

Профессиональным математикам не составило бы труда разобраться в этих материалах и, при необходимости, указать на допущенные автором ошибки. Почему же этого не было сделано? Во-первых, сработало «административное чутьё», безотказно реагирующее на любые новации, представляющие потенциальную угрозу безмятежному существованию и, прямо скажем, паразитированию на науке, нынешних «научных олигархов». Во-вторых, сама математика к настоящему времени достигла такой степени «специализации», что стала недоступной контролю со стороны научной общественности, а учёная степень доктора физико-математических наук приобрела славу легко приобретаемой теми, кому учёная степень (не важно в какой области знаний) нужна лишь для успешной карьеры на высоких административных постах.

Теперь профессиональные (по высшему образованию и учёной степени) математики всё больше «руководят» в тех областях, где глубокого знания математики не требуется, т.е., грубо говоря, занимаются не своим делом, не оправдывая затраченных на их профессиональную подготовку государственных средств. А если попросить их решить инженерную задачу за пределами программы вуза, то ответ будет примерно таким: у нас узкая специализация, так что этого мы и раньше не знали, а теперь ещё и забыли…

В Энциклопедии Большого Форума уже опубликован десяток моих статей. В списках литературы к ним приводятся названия более десятка монографий, опубликованных в 2001-2010 годы. Неужели ни одна из поднятых автором тем «не зацепила» руководителей официальной науки, не послужила отправным пунктом для собственного научного творчества, не вызвала желания показать, с высоты занимаемого ими положения в науке, широту научного подхода и глубину анализа, достойные звания академика?

Нет, этим «научным пустышкам» сказать что-либо от себя оказалось просто нечего. Поэтому и посылают они на Интернет-форумы «провокаторов» (не исключаю, что кто-то и сам идёт «добровольцем»), чтобы флудить обсуждаемые научные темы и компрометировать авторов «альтернативных» идей.

А теперь посмотрим, каков уровень критики, проводимой на Форумах от имени и в защиту официальной науки, на примере заметки, опубликованной в разделе «Обсуждение» к данной статье. Основной тезис оппонента:

«Работа грубо ошибочна. Неверны как общие рассуждения касательно невыполнения закона сохранения энергии при решении задачи Кеплера с помощью комплексных функций, так и конкретное полученное решение этой задачи».

Каким образом этот тезис обосновывается? Оппонент пишет:

«Покажем, что при правильном решении задачи Кеплера с помощью комплексных функций общеизвестные (но оспариваемые Автором) законы сохранения, разумеется, справедливы».

Напомним, что для эллиптических орбит Кеплером был установлен, на основе обработки данных астрономических наблюдений, закон сохранения момента импульса (второй закон Кеплера). Согласно этому закону, кинетическая энергия небесного тела при движении по орбите не остаётся постоянной: с приближением к центру тяготения она увеличивается, при удалении от него уменьшается. Вопрос в том, куда отнести и как назвать ту часть энергию, которая пополняет кинетическую энергию небесного тела, а затем от неё же отнимается. Теоретики предлагают называть её потенциальной энергией самогó тела, вопреки тому очевидному факту, что у тела нет никакого внутреннего механизма («пружины») для накопления, хранения и последующего расходования этой энергии: она поступает извне и туда же, вовне, возвращается.

Нет оснований и для какого-либо «вычленения» из бесконечно большой (в миллионы раз превышающей энергию рассматриваемого тела, к примеру, планеты Марс) энергии центрального тела (Солнца) с целью создания некой искусственной «системы-конгломерата» (планета Марс с «кусочком Солнца»).

Таким образом, признание этой непрерывно циркулирующей части энергии «внутренней» энергией небесного тела – всего лишь субъективный методологический приём, правомерность применения которого исследователь ещё должен оправдать определённой, стоящей перед ним в данной задаче, целью. Но уж, во всяком случае, не возводить этот методологический приём в статус объективного закона.

Однако, именно такую манипуляцию и осуществляет оппонент: сначала, в качестве исходного условия задачи, т.е. без какого-либо обоснования, он относит энергию внешнего поля к «внутренней» энергии тела, а потом предлагает «всем желающим» (как на сеансе иллюзиониста) убедиться, что в сумме с реальной энергией тела (как бы даже «независимо от его желания») получается константа.

Конечно, более важен вопрос о том, имеет ли этот методологический приём практический смысл. К примеру, от какой точки пространства вести отсчёт величины этой так называемой «внутренней потенциальной энергии» тела? Поскольку ни одна из точек орбиты заранее не известна, то её «привязка» осуществляется к абстрактной бесконечно удалённой точке, что делает указанную константу по величине отрицательной, т.е. физически абсурдной (все небесные тела на эллиптических орбитах оказываются как бы «летающими в долг», только не ясно кому: разве что горе-теоретикам?).

Ещё более неприятным является то, что, искусственное «подчинение» эллиптического движения закону сохранения энергии делает Кеплерову задачу (поиск её решения в виде функций времени) аналитически не разрешимой, доступной лишь машинному счёту.

Автор решает эту проблему приведением уравнения конического сечения к гармоническому виду (это оказывается возможным осуществить только на комплексной плоскости). При этом решение Кеплеровой задачи выглядит как наложение на исходное круговое движение гармонических колебаний с амплитудой, равной эксцентриситету, приведённому к параметру эллиптической орбиты.

Произведённые автором преобразования орбиты обратимы, но искать в конечных формулах признаки формального соответствия с исходной формулой конического сечения, конечно же, не имеет смысла. Однако, именно этим занимается оппонент, что делает его критику (параграфы: «Полученная Автором траектория движения не является эллиптической» и «Неопределённость периода вращения») просто беспредметной.

Интересующихся более глубокой стороной вопроса, а также возможностью выхода на новые практические задачи в результате отказа от уже изжившей себя методологии лагранжианов-гамильтонианов, отсылаем к новым статьям автора в Энциклопедии Большого Форума:

1. БРАХИСТОХРОНА: НАЧАЛО И КОНЕЦ ЛАГРАНЖЕВО-ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ.

2. БЕЗОПОРНОЕ ДВИЖЕНИЕ И ГРАВИТАЦИОННАЯ ЭНЕРГЕТИКА: ТЕОРИЯ И ЭКСПЕРИМЕНТЫ, ПОДТВЕРЖДАЮЩИЕ ИХ РЕАЛЬНОСТЬ

Литература

  • М.Шпигельман (М.Spiegelman) Эллипсы, параболы и гиперболы в совмещённых полярно-декартовых координатах. – М.: 2006.
  • Мальханов С.Е. Общая физика (конспект лекций). – СПб.: СПбГТУ, 2001.
  • Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2001.
  • Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики. – М.: ВИНИТИ, серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления», т.3, 1985.
  • Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 3-е изд. — М.: Наука, 1989.
  • Петров А.М. Заявка № 97111689/06 на изобретение «Способ получения и использования гравитационной энергии в форме движения рабочей машины, транспортного средства или летательного аппарата», с приоритетом от 15 июля 1997 года (архив Роспатента).
  • Петров А.М. Гравитационно-резонансные “вечные двигатели” в природе и технике: математическое описание, возможные технические решения для систем наземного и космического применения, расчёт эффективности. – М.: Компания Спутник+, 2001.
  • Петров А.М. Макроэффекты пространственной локализации, переноса на расстояние и резонансного накопления гравитационной энергии. – М.: Компания Спутник+, 2002.
  • Петров А.М. Гравитация: методологическая адекватность теории открывает доступ к новому виду энергии на практике. A.Pétrov. Gravitation: l’adéquation méthodologique de la théorie ouvre l’accès à la source énergétique nouvelle en pratique. – М.: Компания «Спутник+», 2003.
  • Петров А.М. Гравитация и кватернионный анализ. – М.: Тип. «Наука», 2005.
  • Петров А.М. Векторная и кватернионная парадигмы точных наук. – Компания «Спутник+», 2005.
  • Петров А.М. Гравитационная энергетика в кватернионном исчислении. – М.: Компания Спутник+, 2006.
  • Петров А.М. Кватернионное представление вихревых движений. – М.: Компания Спутник+, 2006.
  • Петров А.М. Кватернионные тайны космоса. – М.: Компания Спутник+, 2007.
  • Петров А.М. Открытое письмо учёным-математикам по поводу методологического кризиса теоретической физики. – Москва, Компания Спутник+, 2007.
  • Петров А.М. АнтиЭйнштейн: Переворот в науке, произведённый г-ном Альбертом Эйнштейном. – М.: Компания Спутник+, 2008.
  • Петров А.М. К проблеме аксиоматической адекватности описания движения в физическом пространстве. Методические заметки. – М.: Компания Спутник+, 2008.
  • Петров А.М. К теории инерциоидов, гироскопов, вихрей и … perpetuum mobile. – М.: Компания Спутник+, 2009.
  • Петров А.М. Реактивная динамика открытых систем (резонанс, вихреобразование, гироскопия, электромагнетизм). – М.: Издательство «Спутник +», 2010.

См. также

Ссылки

Примечания

  • 1.↑ Despeyrous T. Cours de mecanique. T. 2. Paris: A. Herman, 1886.
  • 2.↑ Bertrand J. //C.R. T. LXXVII. P. 849—853.
  • 3.↑ Koenigs G. // Bull. de la Societe de France, t. 17, p. 153—155.
Личные инструменты