Верен ли закон индукции Фарадея

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск

Верен ли закон индукции Фарадея?

Федор Федорович Менде
Дата рождения:

02.07.1939 г.

Гражданство:

Флаг СССРФлаг Украины

Учёная степень:

доктор технических наук

Сайт:

http://fmnauka.narod.ru/

Содержание

Введение

Магнитоэлектрический закон Фарадея, который является основным законом электродинамики, был сформулирован в начале позапрошлого века. Одним из основных понятий, которое фигурирует в этом законе, является магнитное поле, которое до этого было введено Ампером. Тогда ещё не было ни уравнений Максвелла, ни опытов Герца. Никто тогда не знал, что существуют электромагнитные волны, которые распространяются по длинным линиям со скоростью света. Не было также теории электрических цепей с распределёнными параметрами и телеграфных уравнений. Но, тем не менее, законом индукции Фарадея мы пользуемся до сих пор как основу всей электродинамики. И, естественно, возникает вопрос, а насколько точен этот закон и правильно ли он и полностью отражает законы индукции.

Законы индукции классической электродинамики

Исторически закон Фарадея в имеющейся литературе принято называть электромагнитным. Такое название не соответствует тому физическому процессу, который он описывает. Этот закон указывает на то, какое электрическое поле можно генерировать путём изменения магнитного поля, поэтому правильно его называть законом магнитоэлектрической индукции.

Основная задача законов индукции заключается в выяснении причин появления в пространстве электрических полей, а, следовательно, и сил действующих на заряд, в данной точке пространства, в данной ИСО. Это главная задача законов индукции, т.к. только электрические поля, генерируемые тем или иным способом, оказывают силовые воздействия на заряд. Такие поля могут возникать при изменении расположения других зарядов вокруг заданной точки пространства. Если вокруг рассматриваемой точки имеется какая-то статическая конфигурация зарядов, то напряженность электрического поля в этой точке будет определяться соотношением

Файл:Верен ли закон Фарадея001.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея002.gif скалярный потенциал, определяемый данной конфигурацией по принципу суперпозиций. Если изменить расположение зарядов, то этой новой конфигурации будут соответствовать и другие значения скалярного потенциала, а, следовательно, и другие значения напряженности электрического поля. Но такое перемещение зарядов в пространстве в обязательном порядке сопряжено с их ускорением и последующим замедлением. Ускорение или замедление зарядов также может приводить к возникновению в окружающем пространстве электрических полей индукции.

Основным законом индукции в классической электродинамике является закон Фарадея, который записывается следующим образом:

Файл:Верен ли закон Фарадея003.gif

(1.1)

где Файл:Верен ли закон Фарадея004.gif - вектор магнитной индукции, Файл:Верен ли закон Фарадея005.gif - поток магнитной индукции, а Файл:Верен ли закон Фарадея006.gif - магнитная проницаемость среды.

Из этого закона следует, что циркуляция вектора электрического поля равна изменению потока магнитной индукции через площадку, которую охватывает данный контур. Сразу подчеркнём то обстоятельство, что рассматриваемый закон представляет процессы взаимной индукции, т.к. для получения циркуляции вектора Файл:Верен ли закон Фарадея007.gif берётся стороннее магнитное поле, сформированное сторонним источником. Этот закон является интегральным и не даёт локальной связи между магнитным и электрическим полем. Из соотношения (1.1) получают первое уравнение Максвелла

Файл:Верен ли закон Фарадея008.gif

(1.2)

Но здесь необходимо сделать одно замечание. Переход от интегральной формы (1.1) к дифференциальной форме (1.2) не вполне законен. Правомерность такого перехода справедлива только в том случае, когда контур интегрирования в левой части соотношения (1.1) охватывает площадь интегрирования в интеграле правой части. Но опыты, которые провел Фарадей, совсем не предполагают этого, контур интегрирования в левой части, а вернее проволока, в которой индуцировалась э.д.с., может не совпадать с границами площадки интегрирования в правой части. Главным условием соблюдения соотношения (1.1) являлось то, что контур интегрирования в правой части должен охватывать контур интегрирования в левой. Примером тому может служить случай длинного соленоида, когда поток индукции сосредоточен во внутренней его части, а контур интегрирования может проходить за его пределами, где магнитных полей нет. Важно только, чтобы контур интегрирования в левой части соотношения (1.1) охватывал соленоид.

Введём векторный потенциал Файл:Верен ли закон Фарадея009.gif, удовлетворяющий равенству Файл:Верен ли закон Фарадея010.gif, где контур интегрирования совпадает с контуром интегрирования в соотношении (1.1), а вектор Файл:Верен ли закон Фарадея011.gif определен на всех его участках, тогда

Файл:Верен ли закон Фарадея012.gif

(1.3)

Путём введения вектор Файл:Верен ли закон Фарадея013.gif обеспечивается локальную связь между этим вектором и электрическим полем, а также между пространственными производными этого вектора и магнитным полем. Следовательно, зная производные вектора Файл:Верен ли закон Фарадея014.gif по времени и по координатам, можно определить индуцируемые электрические и магнитные поля. Введенный таким образом вектор Файл:Верен ли закон Фарадея014.gif, связан с магнитным полем соотношением:

Файл:Верен ли закон Фарадея015.gif

(1.4)

Таким образом, вектор Файл:Верен ли закон Фарадея014.gif является более универсальным понятием, чем вектор магнитного поля, поскольку даёт возможность определять как магнитные, так и электрические поля.

Если имеется прямой проводник с током, то вокруг него образуется поле векторного потенциала, в этом случае Файл:Верен ли закон Фарадея016.gif и, следовательно, в окрестностях такого проводника возникает также и магнитное поле, которое изменяется при изменении тока в проводнике. Отрезок провода длиной Файл:Верен ли закон Фарадея017.gif, по которому протекает ток Файл:Верен ли закон Фарадея018.gif, генерирует в дальней зоне (имеется в виду, что расстояние Файл:Верен ли закон Фарадея019.gif значительно больше длины отрезка) векторный потенциал

Файл:Верен ли закон Фарадея020.gif

Это соотношение может быть переписано и по-другому:

Файл:Верен ли закон Фарадея021.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея022.gif - заряд, приходящийся на единицу длины проводника, по которому протекает ток.

Отметим то обстоятельство, что векторный потенциал убывает, как Файл:Верен ли закон Фарадея023.gif, и по этому же закону, в соответствии с соотношением (1.3), убывают и индуцируемые электрические поля. Магнитные же поля, поскольку Файл:Верен ли закон Фарадея024.gif, убывают, как Файл:Верен ли закон Фарадея025.gif, и при больших расстояниях ими можно пренебречь. Таким образом, на больших расстояниях закон индукции продолжает работать, однако, индуцируемые электрические поля уже полностью зависят только от векторного потенциала и, что очень важно, убывают они уже не по закону Файл:Верен ли закон Фарадея025.gif, как в случае скалярного потенциала, а как Файл:Верен ли закон Фарадея023.gif, что характерно для излучающих систем.

До сих пор решение вопроса о возникновении электрических полей в движущихся системах можно было осуществлять двумя путями. Первый - заключался в вычислении силы Лоренца, действующей на движущиеся заряды, второй путь заключался в измерении изменения магнитного потока через исследуемый контур. Оба метода давали одинаковый результат. Это было непонятно, и уже приводилось по этому поводу высказывания авторов работы [1]. В связи с непониманием физической природы такого положения дел и начали считать, что униполярный генератор является исключением из правила потока [1]. Рассмотрим эту ситуацию подробнее.

Для того чтобы ответить на поставленный вопрос, следует несколько изменить соотношение (1.3), заменив в нём частную производную на полную:

Файл:Верен ли закон Фарадея026.gif.

(1.5)

Штрих около вектора Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif означает, что это поле определяется в движущейся системе координат, в то время как вектор Файл:Верен ли закон Фарадея028.gif определен в неподвижной системе. Таким образом, предполагается, что векторный потенциал может иметь, как локальную, так и конвекционную производную, т.е. может меняться, как за счет изменения локального времени, так и за счет движения в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Соотношение (1.5) можно переписать следующим образом:

Файл:Верен ли закон Фарадея029.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея030.gif - скорость штрихованной системы.

Следовательно, дополнительная сила, действующая на заряд в движущейся системе, запишется

Файл:Верен ли закон Фарадея031.gif

Эта сила зависит только от пространственных производных векторного потенциала и скорости штрихованной системы.

Заряд, движущийся в поле векторного потенциала Файл:Верен ли закон Фарадея014.gif со скоростью Файл:Верен ли закон Фарадея030.gif, обладает также потенциальной энергией [1]

Файл:Верен ли закон Фарадея032.gif

Поэтому должна существовать еще одна сила, действующая на заряд в движущейся ИСО, а именно:

Файл:Верен ли закон Фарадея034.gif

Таким образом, величина Файл:Верен ли закон Фарадея035.gif играет такую же роль, что и скалярный потенциал Файл:Верен ли закон Фарадея002.gif, градиент которого дает электрическое поле. Следовательно, суммарная сила, которая действует на заряд, движущийся в поле векторного потенциала, может иметь три составляющие и запишется как

Файл:Верен ли закон Фарадея036.gif

(1.6)

Первая из составляющих этой силы действует на неподвижный заряд, когда векторный потенциал имеет локальную производную по времени. Вторая составляющая также определяет изменения векторного потенциала во времени, но они связаны уже с движением заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Совсем иная природа у силы, которая определяется последним слагаемым соотношения (1.6). Она связана с тем, что заряд, двигающийся в поле векторного потенциала, обладает потенциальной энергией, градиент которой и дает силу. Из соотношения (1.6) следует

Файл:Верен ли закон Фарадея037.gif

(1.7)

Это и есть полный закон взаимной индукции. Он определяет все электрические поля, которые могут возникать в заданной точке пространства, причем эта точка может быть как неподвижной, так и движущейся. Этот единый закон включает в себя и закон Фарадея, и ту часть силы Лоренца, которая связана с движением заряда в магнитном поле. Этот закон без всяких исключений дает ответ на все вопросы, касающиеся взаимной магнитоэлектрической индукции. Показательно, что, если взять ротор от обеих частей равенства (1.7), пытаясь получить первое уравнение Максвелла, то сразу будет потеряна существенная часть информации, т.к. ротор от градиента тождественно равен нулю.

Если выделить те силы, которые связаны с движением заряда в поле векторного потенциала, и учесть, что

Файл:Верен ли закон Фарадея038.gif

то из (1.6) получим

Файл:Верен ли закон Фарадея039.gif

(1.8)

Учитывая (1.4), запишем:

Файл:Верен ли закон Фарадея040.gif

(1.9)

Или

Файл:Верен ли закон Фарадея041.gif

(1.10)

Окончательно:

Файл:Верен ли закон Фарадея042.gif

(1.11)

Может показаться, что соотношение (1.11) представляет силу Лоренца, однако, это не так. В этом соотношении и поле Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif, и поле Файл:Верен ли закон Фарадея043.gif являются индуцированными, первое связано с локальной производной векторного потенциала по времени, второе же обязано движению заряда в пространственно меняющемся поле этого потенциала. Чтобы получить полную силу, действующую на заряд, необходимо для случая, когда система не является электронейтральной, к правой части соотношения (1.11) добавить слагаемое Файл:Верен ли закон Фарадея044.gif:

Файл:Верен ли закон Фарадея045.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея002.gif - скалярный потенциал, создаваемый в точке наблюдения нескомпенсированными зарядами.

Теперь соотношение (1.7) можно переписать следующим образом:

Файл:Верен ли закон Фарадея046.gif

(1.12)

или, собрав первые два члена в полную производную векторного потенциала по времени, и, внеся под знак градиента два последних члена правой части соотношения (1.12), получим:

Файл:Верен ли закон Фарадея047.gif

(1.13)

Если обе части соотношения (1.13) умножить на величину заряда, то можно получить полную силу, действующую на заряд. От силы Лоренца она будет отличаться силой Файл:Верен ли закон Фарадея048.gif. Из соотношения (1.13) видно, что величина Файл:Верен ли закон Фарадея049.gif играет роль обобщенного скалярного потенциала. Если взять ротор от обеих частей соотношения (13) и учесть, что Файл:Верен ли закон Фарадея050.gif, то получим:

Файл:Верен ли закон Фарадея051.gif

Если в данном соотношении заменить полную производную на частную, т.е. считать, что поля определяются только в заданной инерциальной системе, то получим первое уравнение Максвелла.

Ранее сила Лоренца рассматривалась как фундаментальный опытный факт, не связанный с законом индукции. Расчетным путем получить последнее слагаемое правой части соотношения (1.11) можно было только в рамках СТО. В данном случае все слагаемые соотношение (1.11) получены из закона индукции в рамках преобразований Галилея. Причем соотношение (1.11) это и есть полный закон взаимной индукции, если его записать в терминах векторного потенциала. Это есть как раз то правило, которое дает возможность, зная поля в одной ИСО, вычислять поля в другой инерциальной системе, и этого правила до сих пор не было в классической электродинамике. Но такой подход вовсе не проливает свет на физическую причину возникновения векторного потенциала, т.к. он, как и магнитное поле вводится феноменологическим путём.

Сам Фарадей при проведении своих опытов установил, что в контуре индуцируется ток, когда в соседнем контуре включается или выключается постоянный ток, или соседний контур с постоянным током движется относительно первого контура. Поэтому в общем виде закон Фарадея следует записать следующим образом:

Файл:Верен ли закон Фарадея052.gif

(1.14)

Данная запись закона указывает на то, что при записи циркуляции вектора Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif в движущейся (штрихованной) системе координат, около Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif и Файл:Верен ли закон Фарадея053.gif следует ставить штрихи, указывающие на тот, что поток определён в одной ИСО, а поля в другой. Если же циркуляция определяется только в заданной ИСО, то штрихи около Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif и Файл:Верен ли закон Фарадея053.gif отсутствуют, но при этом справа в выражении (1.14) должна стоять частная производная по времени.

Полная производная по времени в соотношении (1.14) означает независимость конечного результата появления э.д.с. в контуре от способа изменения потока. Поток может изменяться как за счет локальной производной магнитного потока по времени, так и за счет того, что ИСО, в которой измеряется циркуляция Файл:Верен ли закон Фарадея054.gif, движется в пространственно меняющемся поле Файл:Верен ли закон Фарадея055.gif. Величину магнитного потока в соотношении (1.14) вычисляем при помощи выражения:

Файл:Верен ли закон Фарадея056.gif

(1.15)

где магнитная индукция Файл:Верен ли закон Фарадея004.gif определена в неподвижной системе координат, а элемент Файл:Верен ли закон Фарадея057.gif определен в движущейся системе.

Учитывая (1.14), из (1.15) получаем:

Файл:Верен ли закон Фарадея058.gif

Поскольку Файл:Верен ли закон Фарадея059.gif, запишем:

Файл:Верен ли закон Фарадея060.gif

(1.16)

В данном случае контурный интеграл берется по контуру Файл:Верен ли закон Фарадея061.gif, охватывающему площадкуФайл:Верен ли закон Фарадея057.gif. Сразу отметим, что все дальнейшее изложение будет вестись в предположении справедливости преобразований Галилея, т.е. Файл:Верен ли закон Фарадея062.gif и Файл:Верен ли закон Фарадея063.gif. ПосколькуФайл:Верен ли закон Фарадея064.gif, из (16) получаем соотношение

Файл:Верен ли закон Фарадея065.gif

(1.17)

Из соотношения (1.17) следует, что при движении в магнитном поле возникает дополнительное электрическое поле, определяемое последним слагаемым этого соотношения. Заметим, что данное соотношение получено не путем введения силы Лоренца аксиоматическим способом или из ковариантных преобразований Лоренца, а непосредственно из закона Фарадея, причем в рамках преобразований Галилея. Таким образом, сила Лоренца является прямым следствием закона магнитоэлектрической индукции.

Закон Фарадея показывает, каким образом изменение магнитных полей приводит к появлению электрических полей. Однако возникает вопрос о том, приводит ли изменение электрических полей к возникновению каких-либо других полей и, в частности, магнитных? Ответ на этот вопрос дал Максвелл, введя ток смещения в свое второе уравнение. В случае отсутствия токов проводимости второе уравнение Максвелла выглядит следующим образом:

Файл:Верен ли закон Фарадея066.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея067.gif - электрическая индукция.

От этого соотношения нетрудно перейти к выражению

Файл:Верен ли закон Фарадея068.gif

(1.18)

где Файл:Верен ли закон Фарадея069.gif поток электрической индукции.

Однако для полного описания процессов взаимной электрической индукции соотношения (1.18) недостаточно. Как и в случае закона Фарадея, следует учесть то обстоятельство, что поток электрической индукции может меняться не только за счет локальной производной электрического поля по времени, но и за счет того, что контур, вдоль которого производится интегрирование, может двигаться в пространственно меняющемся электрическом поле. Это означает, что в соотношении (1.18), как и в случае закона Фарадея, следует заменить частную производную на полную. Обозначая штрихами поля и элементы контура в движущейся ИСО, получим:

Файл:Верен ли закон Фарадея070.gif

и далее

Файл:Верен ли закон Фарадея071.gif

(1.19)

Для электронейтральной среды Файл:Верен ли закон Фарадея072.gif, поэтому последний член правой части в этом выражении будет отсутствовать. Для этого случая соотношение (1.19) будет иметь вид:

Файл:Верен ли закон Фарадея073.gif

(1.20)

Если в этом соотношении перейти от интегрирования по контуру к интегрированию по поверхности, то получим:

Файл:Верен ли закон Фарадея074.gif

(1.21)

Из (1.21) получаем

Файл:Верен ли закон Фарадея075.gif

(1.22)

Если, исходя из этого соотношения, записать поля в данной инерциальной системе, то штрих около Файл:Верен ли закон Фарадея076.gifи второй член правой части исчезнут, и получим ток смещения, введенный Максвеллом. Но Максвелл ввел этот параметр, не прибегая к закону электромагнитной индукции (1.19). Если свой закон магнитоэлектрической индукции Фарадей вывел на основании экспериментов с магнитными полями, то эксперименты по установлению справедливости соотношения (1.19) в то время провести было невозможно, т.к. для проведения такого эксперимента не хватало чувствительности существующих измерительных приборов.

Динамические потенциалы и поля движущихся зарядов

Находясь в заданной ИСО, нас интересуют те поля, которые создаются в ней неподвижными и движущимися зарядами, а также электромагнитными волнами, которые генерируются неподвижными и движущимися источниками таких волн. Поля, которые создаются в данной ИСО движущимися зарядами и движущимися источниками электромагнитных волн, будем называть динамическими. Примером динамического поля может служить магнитное поле, которое возникает вокруг движущихся зарядов.

Как уже отмечалось, в классической электродинамике отсутствуют правила преобразования электрических и магнитных полей при переходе из одной инерциальной системы в другую. Этот недостаток устраняет СТО, основой которой являются ковариантные преобразования Лоренца. При всей математической обоснованности такого подхода физическая сущность таких преобразований до настоящего времени остаётся невыясненной [2].

В данном разделе будет сделана попытка найти именно физически обоснованные пути получения преобразований полей при переходе из одной ИСО в другую, а также выяснить какие динамические потенциалы и поля могут генерировать движущиеся заряды. Первый шаг, продемонстрированный в работах [3-5], был сделан в этом направлении путём введения симметричных законов магнитоэлектрической и электромагнитной индукции. Эти законы, как показано в предыдущей главе записываются следующим образом:

Файл:Верен ли закон Фарадея077.gif

(2.1)

Или

Файл:Верен ли закон Фарадея078.gif

(2.2)

Для постоянных полей эти соотношения имеют вид:

Файл:Верен ли закон Фарадея079.gif

(2.3)

В соотношениях (2.1-2.3), предполагающих справедливость преобразований Галилея, штрихованные и не штрихованные величины представляют поля и элементы в движущейся и неподвижной ИСО соответственно. Следует заметить, что преобразования (2.3) ранее можно было получить только из преобразований Лоренца.

Соотношения (2.1–2.3), представляющие законы индукции, не дают информации о том, каким образом возникли поля в исходной неподвижной ИСО. Они описывают только закономерности распространения и преобразования полей в случае движения по отношению к уже существующим полям.

Соотношения (2.3) свидетельствуют о том, что в случае относительного движения систем отсчета, между полями Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif и Файл:Верен ли закон Фарадея076.gif существует перекрестная связь, т.е. движение в полях Файл:Верен ли закон Фарадея076.gif приводит к появлению полей Файл:Верен ли закон Фарадея027.gif и наоборот. Из этих соотношений вытекают дополнительные следствия, которые впервые были рассмотрены в работе [6]. Электрическое поле Файл:Верен ли закон Фарадея080.gif за пределами заряженного длинного стержня, на единицу длины которого приходится заряд Файл:Верен ли закон Фарадея081.gif, убывает по закону Файл:Верен ли закон Фарадея023.gif, где Файл:Верен ли закон Фарадея019.gif- расстояние от центральной оси стержня до точки наблюдения.

Если параллельно оси стержня в поле Файл:Верен ли закон Фарадея082.gif начать двигать со скоростью Файл:Верен ли закон Фарадея083.gif другую ИСО, то в ней появится дополнительное магнитное поле Файл:Верен ли закон Фарадея084.gif. Если теперь по отношению к уже движущейся ИСО начать двигать третью систему отсчета со скоростью Файл:Верен ли закон Фарадея083.gif, то уже за счет движения в поле Файл:Верен ли закон Фарадея085.gif появится добавка к электрическому полю Файл:Верен ли закон Фарадея086.gif. Данный процесс можно продолжать и далее, в результате чего может быть получен ряд, дающий величину электрического поля Файл:Верен ли закон Фарадея087.gif в движущейся ИСО при достижении скорости Файл:Верен ли закон Фарадея088.gif, когда Файл:Верен ли закон Фарадея089.gif, а Файл:Верен ли закон Фарадея090.gif. В конечном итоге в движущейся ИСО величина динамического электрического поля окажется больше, чем в исходной и определиться соотношением:

Файл:Верен ли закон Фарадея091.gif

Если речь идет об электрическом поле одиночного заряда Файл:Верен ли закон Фарадея092.gif, то его электрическое поле будет определяться соотношением:

Файл:Верен ли закон Фарадея093.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея094.gif- нормальная составляющая скорости заряда к вектору, соединяющему движущийся заряд и точку наблюдения.

Выражение для скалярного потенциала, создаваемого движущимся зарядом, для этого случая запишется следующим образом [3-5]:

Файл:Верен ли закон Фарадея095.gif

(2.4)

где Файл:Верен ли закон Фарадея096.gif- скалярный потенциал неподвижного заряда.

Потенциал Файл:Верен ли закон Фарадея097.gif может быть назван скалярно-векторным, т.к. он зависит не только от абсолютной величины заряда, но и от скорости и направления его движения по отношению к точке наблюдения. Максимальное значение этот потенциал имеет в направлении нормальном к движению самого заряда. Более того, если скорость заряда меняется, что связано с его ускорением, то могут быть вычислены и электрические поля, индуцируемые ускоряемым зарядом.

Соотношение (2.4) является следствием двух законов индукции, рассмотренных выше, но нам по-прежнему неясна физическая природа возникновения магнитного векторного потенциала, а следовательно и электрических полей индукции, возникающих при протекании токов по проводникам. Однако из экспериментов нам известно, что электрические поля индукции, всегда направлены противоположно тем, которые ускоряют электроны проводимости в проводниках.

Переходные процессы в отрезках длинных линий

Теперь рассмотрим вопрос о том, как будут работать правила потоков на отрезках длинных линий с распределенными параметрами, которые могут представлять или индуктивность (линия закороченная на конце) или емкость (разомкнутая линия).

Закоротим линию на расстоянии Файл:Верен ли закон Фарадея098.gif от ее начала (рис. 1).

Файл:Верен ли закон Фарадея099.gif

Рис. 1. Распространение волны тока и напряжения в длинной линии.

Очевидно, что суммарная индуктивность линии при этом составит величину Файл:Верен ли закон Фарадея100.gif. Если подключить к линии источник постоянного напряжения, в ней начнет распространяться волна тока Файл:Верен ли закон Фарадея101.gif и напряжения Файл:Верен ли закон Фарадея102.gif. В тот момент, когда на коротком замыкании, на котором имеет место граничное условие Файл:Верен ли закон Фарадея103.gif, появляется падающая волна с напряжением Файл:Верен ли закон Фарадея102.gif, возникает отраженная волна с напряжением Файл:Верен ли закон Фарадея104.gif, бегущая в обратном направлении. Так как ток в этой отраженной волне равен напряжению с отрицательным знаком и двигается она в обратном направлении, то суммарный ток, создаваемый этой волной будет равен Файл:Верен ли закон Фарадея105.gif, т.е. он будет течь в том же направлении, что и ток падающей волны. Таким образом, отраженная волна, двигаясь в обратном направлении, будет оставлять после себя ток, равный Файл:Верен ли закон Фарадея106.gif, и нулевое напряжение. Когда отраженная волна возвратиться к началу линии, она принесет с собой состояние удвоенного начального тока и нулевое напряжение. Источник снова пошлет в линию волну напряжения Файл:Верен ли закон Фарадея102.gif и ток Файл:Верен ли закон Фарадея107.gif. Этот ток сложиться с током Файл:Верен ли закон Фарадея106.gif, и суммарный ток в линии составит Файл:Верен ли закон Фарадея108.gif. Ток и далее будет нарастать ступеньками, добавляя каждый раз к своему прежнему значению величину Файл:Верен ли закон Фарадея106.gif. Если отобразить этот процесс во времени, то он будет выглядеть, как показано на рис. 2.

Файл:Верен ли закон Фарадея109.gif

Рис. 2. График зависимости входного тока от времени для закороченной линии.

На этом рисунке время

Файл:Верен ли закон Фарадея110.gif

соответствует времени, за которое волна пробегает по линии в одну сторону.

На рис. 1 волна тока в правой своей части на участке Файл:Верен ли закон Фарадея111.gif имеет скос. Этот участок соответствует времени переходного процесса Файл:Верен ли закон Фарадея112.gif, за которое напряжение подключаемого к линии источника достигает своего номинального значения. На этом же участке и ток в линии, и электрическое поле меняет свою величину от нулевого значения до номинального. Очевидно, что именно на этом участке скорость носителей тока меняется от нулевого значения в начале скоса до своего номинального значения в его конце.

Следует обратить внимание на то, что, как видно из рис. 3, мощность, отбираемая закороченной линией у источника напряжения, не является линейной функцией, а по истечении времени равному Файл:Верен ли закон Фарадея113.gifскачком увеличивается на Файл:Верен ли закон Фарадея114.gif, причем первый скачек равен Файл:Верен ли закон Фарадея115.gif. Нетрудно показать, что магнитный поток в данном случае изменяется по линейному закону (рис. 3).

Действительно, при прямом ходе волны до момента времени Файл:Верен ли закон Фарадея116.gif, когда волна достигнет закороченного участка, поток будет увеличиваться по линейному закону и к моменту Файл:Верен ли закон Фарадея116.gif достигнет величины Файл:Верен ли закон Фарадея117.gif. Когда, отразившись от закоротки, волна начнет двигаться в обратном направлении, то поток снова будет возрастать по линейному закону и к моменту прихода волны к источнику напряжения достигнет величины Файл:Верен ли закон Фарадея118.gif.

Таким образом, в режиме самоиндукции, как и в случае подключения к источнику питания бесконечно длинной линии, выполняется соотношение

Файл:Верен ли закон Фарадея119.gif.

Электрический поток в линии тоже будет изменяться по определенному закону (рис. 4).

Файл:Верен ли закон Фарадея120.gif

Рис. 3. Зависимость магнитного потока от времени для закороченной линии.

Файл:Верен ли закон Фарадея121.gif

Рис. 4. Зависимость электрического потока от времени для закороченной линии.

В отличие от магнитного потока он будет изменяться периодически, то, возрастая, то, убывая, по линейному закону. Когда волна движется в положительном направлении, одновременно возрастает и магнитный и электрический поток. При этом как в магнитном, так и в электрическом поле запасаемая энергия возрастает. Когда волна начинает двигаться в обратном направлении, то электрическое поле начинает исчезать, а его энергия переходит в магнитную энергию обратной волны тока.

После достижения волной источника питания магнитное поле удваивается по своей величине, а электрическое поле в линии исчезает. Далее цикл повторяется. Следовательно, процессу возрастания магнитного потока в индуктивности, в обязательном порядке сопутствует процесс периодического изменения потока электрической индукции, при котором между плоскостями линии периодически возникает и исчезает электрическое поле.

Теперь рассмотрим вопрос о взаимной индукции, когда в исходной короткозамкнутой длинной линии находиться отрезок другой длинной линии меньших размеров. Расположим между плоскостями короткозамкнутой линии короткозамкнутый с обоих концов отрезок другой линии такой же ширины, но с расстоянием Файл:Верен ли закон Фарадея122.gif<<Файл:Верен ли закон Фарадея123.gif (рис. 5).

Файл:Верен ли закон Фарадея124.gif

Рис. 5. Процессы взаимной индукции в закороченной линии.

Будем считать, что короткозамкнутый отрезок выполнен из сверхпроводника, и токи, возбуждаемые в нем, затухать не могут. Если подключить к линии источник напряжения, то по линии начнет распространяться волна, в которой напряжение источника и ток в линии связаны соотношением Файл:Верен ли закон Фарадея101.gif. Когда волна напряжения достигнет перемычки вложенной линии, то к ней будет приложено напряжение Файл:Верен ли закон Фарадея125.gif. На короткозамыкающей перемычке выполняется граничное условие Файл:Верен ли закон Фарадея103.gif, поэтому на ней возникнет напряжение обратное Файл:Верен ли закон Фарадея126.gif, в связи с этим по перемычке начнут двигаться заряды в направлении указанном стрелкой. Минуя короткозамкнутую перемычку, волна уже будет двигаться не по одной, а по двум параллельным линиям и токи, текущие по элементам вложенной линии будут течь в направлении, которое является обратным направлению токам в проводниках основной линии. И вот здесь, несмотря на всю очевидность происходящего, возникает один важный вопрос. Действительно, очевидным является то, что токи во вставной линии текут в обратном направлении по отношению к основной линии. Но для того, чтобы эти токи начали течь, необходимо, чтобы в области фронта распространяющейся волны заряды во вставной линии ускорялись. Но для того, чтобы заряды ускорялись, необходимо наличие тангенциальной составляющей электрического поля на плоскостях вставной линии, в то же время в нашем распоряжении имеются только нормальные составляющие этого поля. На рис. 1 мы уже показали тот участок основной линии, где происходит ускорение свободных зарядов. Этот участок двигается по основной линии со скоростью света, и именно к этому участку приложено напряжение источника питания, ускоряющее носители тока. Ток во вставной линии двигается в обратном направлении и имеет такую же величину что и в основной линии. Значит в области фронта двигающейся волны на проводящих плоскостях вставной линии необходимо наличие тангенциальной составляющей электрического поля, обратного тому полю, которое ускоряет заряды в основной линии. Да это именно так, но у нас нет пока физических причин, которые смогли бы объяснить появление такого поля. Как раз это и есть основной вопрос индукции. В пятой главе мы подробно рассмотрим этот вопрос и покажем истинные причины появления таких полей, и читатель сможет убедиться, что причиной их появления является не закон Фарадея.

В том случае, если возбуждаемые во вложенной линии токи не затухают, они будут двигаться вслед за электрическими полями. Когда волна минует вложенную линию, то в этой линии останутся незатухающие токи, которые полностью скомпенсируют в ее внутренней полости магнитное поле, а поляризационные заряды, наведенные внешним электрическим полем, полностью скомпенсируют внутри вставной линии электрическое поле. Таким образом, во внутренней части вложенной линии будут отсутствовать как магнитные, так и электрические поля.

В том же случае, если проводники вложенной линии имеют сопротивление, токи, индуцированные в ней, через некоторое время затухнут и в ее внутреннюю полость проникнет магнитное поле, которое по своей величине будет таким же, как и в основной линии. Но электрическое поле во внутреннюю полость проникнуть не сможет, т.к. на противоположных проводящих проводниках вложенной линии наведенные поляризационные заряды останутся. Таким образом, мы видим, что проникновение во внутреннюю часть вложенной линии магнитного потока обязательно обусловлено наличием потерь в проводниках этой линии. Очевидно, что данному процессу обязательно сопутствуют тепловые омические потери. Но конечный вариант, который мы получили, по сравнению с линией без вставки по-прежнему отличается тем, что электрическое поле, присутствующее в остальных частях основной линии, внутри вложенной линии отсутствует. Но установлению такой ситуации предшествовали тепловые омические потери в элементах вставной линии. Оказывается, что эти потери в точности соответствуют величине

Файл:Верен ли закон Фарадея127.gif

(3.1)

т.е. той электростатической энергии, которая не проникла внутрь вложенной линии. Можем ли мы сделать так, чтобы при наличии полей в основной линии внутри полости, занимаемой вставной линией появилось электрическое поле? Для этого нужно отсоединить от вставной линии короткозамыкающие перемычки. Но при этом поляризационные заряды на противоположных проводниках вставной линии останутся и по-прежнему будут компенсировать электрические поля основной линии. Чтобы устранить такую компенсацию нужно сблизить плоскости вставной лини, доведя размер Файл:Верен ли закон Фарадея122.gif до нуля, таким образом, практически уничтожив влияние вставной линии на поля основной линии. При этом также будет израсходована работа, определяемая соотношением (3.1). Т.е. когда создавалась ситуация, при которой внутри вставной линии отсутствовали электрические поля, не была затрачена работа, определяемая соотношением (3.1). Теперь же, когда мы возвратились к нулевому варианту, эти затраты оказались возмещенными.

Теперь мы можем установить причины и правила взаимной индукции. Токи во вторичном контуре, связанного индуктивно с первичным (генерирующим) контуром, возбуждает не изменение магнитного потока через вторичный контур, а электрические поля первичного контура. При этом во вторичном контуре генерируются токи обратные по направлению токам первичного контура, а магнитные поля, генерируемые этими токами, направлены против полей первичного контура. При этом магнитный поток вторичного контура Файл:Верен ли закон Фарадея128.gif остается равным нулю, если вторичный контур не имеет активного сопротивления. Изменение магнитного потока вторичного контура возможно только при наличии в его проводящих элементах активных потерь. При этом будет выполняться равенство

Файл:Верен ли закон Фарадея129.gif

Уменьшение компенсирующего потока вторичного контура в случае наличия активных потерь, приведет к возрастанию потока первичного контура Файл:Верен ли закон Фарадея130.gif, пронизывающего вторичный контур. Но, поскольку Файл:Верен ли закон Фарадея131.gif , то

Файл:Верен ли закон Фарадея132.gif

Т.е., если речь идет о самоиндукции, то знак электрического поля совпадает со знаком производной потока по времени. В случае же взаимной индукции, знаки электрического поля во вторичном контуре и производной внешнего магнитного потока разные. Таким образом, мы установили, что действительной причиной индуцирования токов в материальных структурах, расположенных в изменяющихся магнитных полях является не изменение потока, а движущиеся электрические поля индуцирующей структуры. Однако, формально циркуляция вектора электрического поля совпадает с производной потока магнитной индукции по времени.

Но раз мы приняли концепцию того, что токи во вторичном контуре генерирует не изменение магнитного потока, а движущиеся электрические поля первичного контура, то мы приходим к парадоксальной ситуации. Ведь снаружи рассматриваемой нами линии, если не считать краевых эффектов, электрических полей нет. Значить, если разместить вставную линию таким образом, чтобы она находилась не внутри первичной линии, а охватывала ее снаружи, то в ней не будут индуцироватся токи при возрастании потока в первичной линии, Если это так, то это входит в противоречие с законом индукции Фарадея. Так ли это? Это действительно так. Этот случай представлен на рис. 5. Возьмем первичную (индуцирующую) линию достаточной ширины и вторичную линию, ширина которой значительно меньше ширины первичной линии, причем сделаем так, чтобы вторичная линия охватывала первичную. Если теперь подключить источник переменного напряжения к первичной линии, то в ней начнет изменяться магнитный поток, и, поскольку этот же поток охватывает и вторичная линия, то казалось бы вольтметр, подсоединенный к вторичной линии должен зарегистрировать напряжение равное производной этого потока по времени. Но в приведенной схеме эксперимента вольтметр ничего не показывает. Если же вторичный контур, расположить внутри первичного контура, как показано на рис. 6, то при подключению к первичному контуру источника переменного напряжения, вольтметр, подключенный к вторичному контуру, показывает напряжение в соответствии с сформулированными выше правилами индукции. Как видно, мы имеем еще одно исключение из правила потока. Следовательно, мы должны заключить, что в области расположения вторичной линии на рис. 6, несмотря на изменение магнитного потока через поперечное сечение первичной линии, нет полей векторного потенциала.

Файл:Верен ли закон Фарадея133.gif

Рис. 6. Схема взаимной индукции между контурами с внутренним расположением индуцирующего контура.

Файл:Верен ли закон Фарадея134.gif

Рис.7. Схема взаимной индукции между контурами с внешним расположением индуцирующего контура.

Имеется еще один случай подтверждающий несостоятельность введения циркуляции векторного потенциала вокруг цилиндрических токонесущих систем. По существующим представлениям, если имеется цилиндрическая токонесущая система, например длинный соленоид, или длинный сверхпроводящий цилиндр, то вокруг них имеются циркуляция векторного потенциала. Поскольку

Файл:Верен ли закон Фарадея135.gif

(3.2)

то при изменении тока в соленоиде или цилиндре будет меняться поток Файл:Верен ли закон Фарадея136.gif, а, следовательно, в проводящей петле, охватывающей соленоид или цилиндр, будет индуцироваться ток. Если такую петлю разорвать и подключить в месте разрыва вольтметр, то при изменении тока в соленоиде или цилиндре он должен в соответствии с соотношением (3.2) показывать индуцированное напряжение. Если проводить эксперименты с соленоидом, то имеется полное соответствие с соотношением (3.2). Для цилиндрического же образца правило индукции не выполняется и в петле его окружающей е.д.с. не индуцируется.

Для выяснения причин такого парадокса рассмотрим вопрос возникновения электрических полей вокруг длинного соленоида при подключении к нему источника напряжения. Мы уже высказывали сомнение по поводу возможности того, что магнитное поле внутри длинного соленоида при подключении к нему источника питания может возрастать синхронно на протяжении всей его длины. Рассмотрим конкретную схему подключения к длинному соленоиду источника напряжения (рис. 8).

Файл:Верен ли закон Фарадея137.gif

Рис. 8. Схема распространения магнитных полей в длинном соленоиде

В данном случае мы имеем дело с длинной линией, одним из проводников которой является соленоид. Погонная индуктивность у такого соленоида может быть гораздо больше, чем у прямого провода, следовательно, такая линия будет иметь большое волновое сопротивление, а волна в ней будет распространяться медленнее, чем в свободном пространстве. Но процессы распространения в такой линии ничем не будут отличаться от процессов рассмотренных выше.

Когда в этой линии волна дойдет до точки с координатой Файл:Верен ли закон Фарадея138.gif, то магнитным полем будет заполнена только часть соленоида, расположенная между источником питания и точкой Файл:Верен ли закон Фарадея138.gif. Когда волна дойдет до конца соленоида, то магнитным полем заполниться весь соленоид. При обратном ходе волны магнитное поле в соленоиде удвоится, и процесс начнется сначала. Таким образом, магнитный поток в любом поперечном сечении соленоида будет нарастать не плавно, а скачками, и период этих скачков будет определяться временем прохождения волной данного закороченного отрезка соленоида. Положим теперь, что мы в определенном месте охватили соленоид витком и подключили к нему вольтметр. Напряжение в витке будет индуцироваться только в момент пересечения магнитным полем соленоида окрестностей поперечного сечения, вокруг которого расположен виток. Этот момент будет наступать как при прямом, так и при обратном ходе волны, причем полярность импульсов индуцируемого в витке напряжения в обоих случаях будет одна и та же. Частота импульсов будет зависеть от длины соленоида, и будет тем больше, чем короче соленоид. Следовательно, среднее значение индуцированного напряжения будет расти с уменьшением длины соленоида, т.е. его количества витков. Мы знаем, что коэффициент трансформации трансформатора как раз и определяется соотношением витков первичной и вторичной обмоток. Таким образом, сам процесс трансформации происходит совсем не так, как мы представляли его себе раньше, когда мы полагали, что магнитное поле в соленоиде нарастает плавно и синхронно во всех его поперечных сечениях. И у нас нет теперь никаких оснований говорить о том, что вокруг длинного соленоида на всем его протяжении (впрочем, как и вокруг длинного проводящего цилиндра), при протекании через них постоянного тока существует циркуляция векторного потенциала. Но как же тогда быть с опытами Бома и Аронова, которые такой потенциал обнаружили экспериментально [1]?

Закон электро-электрической индукции и запаздывающие потенциалы

Ранее мы уже указывали на то, что решение задач взаимодействия движущихся зарядов в классической электродинамике мы решаем путем введения магнитного поля или векторного потенциала, которые являются полями посредниками. На движущийся или неподвижный заряд силовое действие может оказывать только электрическое поле. Поэтому возникает естественный вопрос, а нельзя ли установить законы прямого действия минуя поля посредники, которые давали бы ответ о прямом взаимодействии движущихся и неподвижных зарядов. Такой подход сразу давал бы ответ и об источниках и местах приложения сил действия и противодействия. Сейчас мы покажем, что применение скалярно-векторного потенциала дает возможность установить и прямые законы индукции, когда непосредственно свойства движущегося заряда без участия каких-либо вспомогательных полей дают возможность вычислить электрические поля индукции, генерируемые движущимся зарядом.

Рассмотрим диаграмму распространения тока и напряжения в отрезке длинной линии, представленной на рис. 1. На этом рисунке сам фронт волны показан скошенным и занимает отрезок линии длинной Файл:Верен ли закон Фарадея111.gif, следовательно, время такого переходного процесса равно Файл:Верен ли закон Фарадея139.gif. Это как раз то время, за которое напряжение на входе линии вырастает от нуля до своего номинального значения. Длительность данного переходного процесса является регулируемой, и зависит от того, по какому закону мы увеличиваем напряжение на входе линии, Сейчас мы попытаемся понять, откуда берется та напряженность поля, которая заставляет заряды в проводниках, расположенных вблизи токонесущих элементов линии, двигаться в направлении противоположном направлению движения зарядов в первичной (индуцирующей) линии. Это как раз тот вопрос, на который мы не смогли дать ответ ранее и на который до сих пор нет физического ответа. Предположим, что напряжение на входе линии возрастает по линейному закону и за время Файл:Верен ли закон Фарадея140.gif достгает своего максимального значения Файл:Верен ли закон Фарадея102.gif, после чего его рост прекращается. Тогда в самой линии переходной процесс займет участок Файл:Верен ли закон Фарадея141.gif. Изобразим этот участок отдельно, как показано на рис. 9.

Файл:Верен ли закон Фарадея142.gif

Рис. 9. Фронт волны тока, распространяющейся в длинной линии

На участке Файл:Верен ли закон Фарадея138.gif происходит ускорение зарядов от их нулевой скорости (правее участка Файл:Верен ли закон Фарадея138.gif) до значения скорости, определяемого соотношением

Файл:Верен ли закон Фарадея143.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея092.gif и Файл:Верен ли закон Фарадея144.gif - заряд и масса носителей тока, а Файл:Верен ли закон Фарадея102.gif - падение напряжения на участке Файл:Верен ли закон Фарадея138.gif. Тогда зависимость скорости носителей тока от координаты будет иметь вид:

Файл:Верен ли закон Фарадея145.gif

(4.1)

Поскольку мы приняли линейную зависимость напряжения от времени на входе линии, то имеет место равенство

Файл:Верен ли закон Фарадея146.gif

где Файл:Верен ли закон Фарадея147.gif - напряженность поля, ускоряющая заряды на участке Файл:Верен ли закон Фарадея138.gif. Следовательно, соотношение (4.1) мы можем переписать

Файл:Верен ли закон Фарадея148.gif

Теперь, используя соотношение (2.4) для величины салярно-векторного потенциала, вычислим его значение как функцию Файл:Верен ли закон Фарадея149.gif на некотором расстоянии Файл:Верен ли закон Фарадея019.gif от линии

Файл:Верен ли закон Фарадея150.gif

(4.2)

При записи этого соотношения использовались только первые два члена разложения в ряд гиперболического косинуса.

Пользуясь формулой Файл:Верен ли закон Фарадея151.gif, и продифференцировав соотношение (4.2) по Файл:Верен ли закон Фарадея149.gif, получаем

Файл:Верен ли закон Фарадея152.gif

(4.3)

где Файл:Верен ли закон Фарадея153.gif- электрическое поле, индуцируемое на расстоянии Файл:Верен ли закон Фарадея019.gifот проводника линии. Около Файл:Верен ли закон Фарадея082.gif мы поставили штрих в связи с тем, что вычисленное поле движется вдоль проводника линии со скоростью света, индуцируя в окружаюших линию проводниках индукционные токи. Мы знаем, что ускорение Файл:Верен ли закон Фарадея123.gif, испытуемое зарядом Файл:Верен ли закон Фарадея092.gif в поле Файл:Верен ли закон Фарадея082.gif, определяется соотношением Файл:Верен ли закон Фарадея154.gif. С учетом этого из (4.3) получаем

Файл:Верен ли закон Фарадея155.gif

(4.4)

Таким образом, заряды, ускоряемые в отрезке линии Файл:Верен ли закон Фарадея098.gif, индуцируют на расстоянии Файл:Верен ли закон Фарадея019.gifот этого участка электрическое поле, определяемое соотношением (4.4). Направление этого поля обратно полю, приложенного к ускоряемым зарядам. Мы получили закон прямого действия, который указывает на то, какие электрические поля вокруг себя генерирует ускоряемый заряд. Этот закон мы можем называть законом электро-электрической индукции, так как он, минуя поля посредники (магнитное поле или векторный потенциал), дает прямой ответ на то, какие электрические поля генерирует вокруг себя движущийся электрический заряд. Данный закон дает также ответ о месте приложения сил взаимодействия между зарядами. Именно это соотношение, а не закон Фарадея, мы должны считать основным законом индукции, т.к. именно оно устанавливает причину появления индукционных электрических полей вокруг движущегося заряда. В чем заключается разница между предлагаемым подходом и ранее существующим. Ранее мы говорили, что движущийся заряд генерирует векторный потенциал, а уже изменяющийся векторный потенциал генерирует электрическое поле. Соотношение (4.4) дает возможность исключить эту промежуточную операцию и перейти непосредственно от свойств движущегося заряда к индукционным полям. Покажем, что из соотношению (4.4) следует и введенный ранее феноменологическим путем векторный потенциал, а, следовательно, и магнитное поле. Поскольку связь между векторным потенциалом и электрическим полем определяется соотношением (1.3), то равенство (4.4) мы можем переписать

Файл:Верен ли закон Фарадея156.gif

откуда, интегрируя по времени, получаем

Файл:Верен ли закон Фарадея157.gif

Это соотношение полностью соответствует определению векторного потенциала. Теперь мы видим, что векторный потенциал есть прямое следствие зависимости скалярного потенциала от относительной скорости заряда. Введение и векторного потенциала и магнитного поля это полезный математический приём, который позволяет упростить решение ряда электродинамических задач, однако, мы должны помнить, что первоосновой введение этих полей является скалярно-векторный потенциал.

Ранее мы ввели два симметричных закона: закон магнитоэлектрической и электромагнитной индукции. Мы указывали на то, что эти законы являются симметричными и, дополняя друг друга, позволяют решать вопросы распространения радиоволн. Вновь введенный закон электро-электрической индукции по сути дела объединяет эти два закона в один и исключает необходимость применения двух законов. Скалярно-векторный потенциал получен как обобщение законов электромагнитной и магнитоэлектрической индукции. Из этих же законов следуют и уравнения Максвелла, которые описывают волновые процессы в материальных средах. Из уравнений Максвелла следует конечность скорости распространения полей, которая равна скорости света.

Поскольку любой процесс распространения электрических полей и потенциалов всегда связан с запаздыванием, введём запаздывающий скалярно-векторный потенциал, считая, что поле этого потенциала распространяется в данной среде со скоростью света:

Файл:Доп инд Фарадея001.gif

(4.5)

где Файл:Доп инд Фарадея002.gif – составляющая скорости заряда Файл:Доп инд Фарадея003.gif, нормальная к вектору Файл:Доп инд Фарадея004.gif в момент времени Файл:Доп инд Фарадея005.gif, Файл:Доп инд Фарадея006.gif– расстояния между зарядом и точкой, в которой определяется поле, в момент времени Файл:Доп инд Фарадея007.gif.

Но возникает вопрос, на каких основаниях, если не использовать уравнения Максвелла, из которого следует волновое уравнение, вводится запаздывающий скалярно-векторный потенциал? Этот вопрос рассматривался в тринадцатом параграфе, когда определялась скорость распространения фронта волны напряжённости магнитного и электрического поля в длинной линии. Там, не прибегая к уравнениям Максвелла, было показано, что электрическое и магнитное поле распространяются с конечной скоростью, которая в вакуумной линии равна скорости света. Следовательно, такие поля запаздывают на время Файл:Доп инд Фарадея008.gif. Такое же запаздывание вводим в данном случае и для скалярно-векторного потенциала, который является носителем электрических полей.

Используя соотношение Файл:Доп инд Фарадея009.gif, найдём поле в точке 1 (рис. 9).

Градиент числового значения радиуса вектора Файл:Доп инд Фарадея004.gif есть скалярная функция двух точек: начальной точки радиуса вектора и его конечной точки (в данном случае это точка 1 на оси Файл:Доп инд Фарадея010.gif и точка 0 в начале координат). Точка 1 является точкой истока, а точка 0 - точкой наблюдения. При определении градиента от функции, содержащей радиус в зависимости от условий задачи необходимо различать два случая: 1) точка истока фиксирована и Файл:Доп инд Фарадея004.gif рассматривается как функция положения точки наблюдения; и 2) точка наблюдения фиксирована и Файл:Доп инд Фарадея004.gif рассматривается как функция положения точки истока.

Будем считать, что заряд Файл:Доп инд Фарадея011.gif совершает колебательное движение вдоль оси Файл:Доп инд Фарадея012.gif, в окрестности точки 0, которая является точкой наблюдения, а точкой истока является фиксированная точка 1 и Файл:Доп инд Фарадея004.gif рассматривается как функция положения заряда. Тогда значение электрического поля в точке 1 запишем:

Файл:Доп инд Фарадея013.gif

При условии, что амплитуда колебаний заряда значительно меньше, чем расстояние до точки наблюдения, можно считать радиус вектор постоянная величина. При этом условии получаем:

Файл:Доп инд Фарадея014.gif

(4.6)

где Файл:Доп инд Фарадея010.gif - какая-то фиксированная точка на оси Файл:Доп инд Фарадея010.gif.

Файл:Доп инд Фарадея015.gif

Рис. 9. Схема формирования индуцированного электрического поля.

Учитывая, что Файл:Доп инд Фарадея016.gif

из (4.6) получаем:

Файл:Доп инд Фарадея017.gif

(4.7)

Это и есть полный закон излучения движущегося заряда.

Если взять только первый член разложения Файл:Доп инд Фарадея018.gif, то из (4.7) получим

Файл:Доп инд Фарадея019.gif

(4.8)

где Файл:Доп инд Фарадея020.gif - запаздывающее ускорение заряда.

Это соотношение является волновым уравнением и определяет как амплитудные, так и фазовые характеристики волны электрического поля, излучаемого движущимся зарядом.

Если в качестве направления излучения взять вектор, лежащий в плоскости Файл:Доп инд Фарадея021.gif, и составляющий с осью Файл:Доп инд Фарадея012.gif угол Файл:Доп инд Фарадея022.gif, то соотношение (4.8) принимает вид:

Файл:Доп инд Фарадея023.gif

(4.9)

Соотношение (4.9) определяет диаграмму направленности излучения. Поскольку в данном случае есть осевая симметрия относительно оси Файл:Доп инд Фарадея012.gif, то можно вычислить полную диаграмму направленности рассмотренного излучателя. Эта диаграмма соответствует диаграмме направленности дипольного излучателя.

Поскольку Файл:Доп инд Фарадея024.gif - запаздывающий векторный потенциал, то соотношение (4.9) можно переписать

Файл:Доп инд Фарадея025.gif

Опять получено полное совпадение с уравнениями запаздывающего векторного потенциала в классической электродинамики, но векторный потенциал введён здесь не эвристическим феноменологическим способом, а с использованием понятия запаздывающего скалярно-векторного потенциала. Нужно отметить одно важное обстоятельство: в уравнениях Максвелла электрические поля, представляющие волну, вихревые. В данном же случае электрические поля носят градиентный характер.

Продемонстрируем ещё одну возможность, которую открывает соотношение (4.9). Известно, что в электродинамике существует такое понятие, как электрический диполь и дипольное излучение, когда заряды, колеблющиеся в электрическом диполе, излучают электромагнитные волны. Два заряда с противоположными знаками имеют дипольный момент:

Файл:Доп инд Фарадея026.gif

(4.10)

где вектор Файл:Доп инд Фарадея027.gifнаправлен от отрицательного заряда к положительному. Поэтому ток может быть выражен, через производную дипольного момента по времени

Файл:Доп инд Фарадея028.gif

Следовательно

Файл:Доп инд Фарадея029.gif

и

Файл:Доп инд Фарадея030.gif

Подставляя данное соотношение в выражение (4.9), получаем закон излучения колеблющегося диполя.

Файл:Доп инд Фарадея031.gif

(4.11)

Это также очень хорошо известное соотношение [1].

Таким образом, в процессе колебания электрического диполя создаются электрические поля двух видов. Во-первых, это электрические индукционные поля излучения, представляемые соотношениями (4.8), (4.9) и (4.10), связанные с ускорением заряда. С другой стороны, вокруг колеблющегося диполя образуются электрические поля статического диполя, которые изменяются во времени в связи с тем, что расстояние между зарядами зависит от времени. Суммарное же значение поля, вокруг такого диполя определяют как суперпозицию полученных полей.

Законы (4.8), (4.9), (4.11) - это законы прямого действия, в которых уже нет ни магнитных полей, ни векторных потенциалов. Т.е. те строительные леса, которыми являлись магнитное поле и магнитный векторный потенциал уже сняты и они нам больше не нужны.

Используя соотношение (4.9) можно получить законы отражения и рассеивания как для одиночных зарядов, так и, для любого их количества. Если какой-либо заряд или группа зарядов подвергаются действию внешнего (стороннего) электрического поля, то такие заряды начинают осуществлять вынужденное движение, и каждый из них излучает электрические поля в соответствии с соотношением (4.9). Суперпозиция электрических полей, излучаемых всеми зарядами, является электрической волной.

Если на заряд действует стороннее электрическое поле Файл:Доп инд Фарадея032.gif, то ускорение заряда определяют как:

Файл:Доп инд Фарадея033.gif

С учётом этого соотношение (21.11) принимает вид

Файл:Доп инд Фарадея034.gif

(4.12)

где коэффициент Файл:Доп инд Фарадея035.gif может быть назван коэффициентом рассеивания (переизлучения) одиночного заряда в заданном направлении, поскольку он определяет способность заряда переизлучать действующее на него внешнее электрическое поле.

Волне электрического поля (4.9) сопутствует волна тока смещения:

Файл:Доп инд Фарадея036.gif

Если заряд осуществляет своё движение под воздействием стороннего электрического поля Файл:Доп инд Фарадея037.gif, то ток смещения в дальней зоне записывают:

Файл:Доп инд Фарадея038.gif

(4.13)

Суммарная волна, которая представляет распространение электрических полей (4.12) и токов смещения (4.13), может быть названа электротоковой. В этой волне ток смещения отстаёт от волны электрического поля на Файл:Доп инд Фарадея039.gif.

Параллельно с электрическими волнами можно ввести магнитные волны, если положить, что

Файл:Доп инд Фарадея040.gif

(4.14)

Файл:Доп инд Фарадея041.gif

Введённое таким образом магнитное поле является вихревым. Сравнивая (4.13) и (4.14) получаем:

Файл:Доп инд Фарадея042.gif

Интегрируя это соотношение по координате, находим значение магнитного поля Файл:Доп инд Фарадея043.gif

(4.15)

Таким образом, соотношения (4.12), (4.13) и (4.15) могут быть названы законами электро-электрической индукции, т.к. дают непосредственную связь между прикладываемыми к заряду сторонними электрическими полями и полями индуцируемыми этим зарядом в его окрестности. Сам же заряд выступает в данном случае в роли своеобразного трансформатора, обеспечивающего такое преизлучение.

Магнитное поле, которое можно вычислить при помощи соотношения (4.15), направлено нормально и к электрическому полю и к направлению распространения, а их отношение в каждой точке пространства составляет:

Файл:Доп инд Фарадея044.gif

где Файл:Доп инд Фарадея045.gif - волновое сопротивление свободного пространства.

Волновое сопротивление определяет активную мощность потерь на единичной площадке, расположенной нормально к направлению распространения волны:

Файл:Доп инд Фарадея046.gif

Поэтому электротоковая волна, пересекая такую площадку, переносит через неё мощность, определяемую данным соотношением, что находится в согласии с теоремой Пойнтинга о потоке мощности электромагнитной волны. Поэтому, для нахождения всех параметров, характеризующих волновой процесс, распространения и переноса энергии посредством полей, достаточно рассмотрения лишь электротоковой волны и знания волнового сопротивления пространства. При этом совсем не обязательно вводить такое понятие, как «магнитное поле» и его векторный потенциал, хотя ничего незаконного в этом нет. В такой постановке соотношения, полученные для электрического и магнитного поля, полностью удовлетворяют теореме Гельмгольца. Эта теорема гласит, что всякое однозначное и непрерывное векторное поле Файл:Доп инд Фарадея047.gif, обращающееся в ноль в бесконечности, может быть представлено, и притом единственным образом, в виде суммы градиента некоторой скалярной функции Файл:Доп инд Фарадея048.gif и ротора некоторой векторной функции Файл:Доп инд Фарадея049.gif, дивергенция которой равна нулю:

Файл:Доп инд Фарадея050.gif

Файл:Доп инд Фарадея051.gif

Следовательно, должно существовать чёткое разделение полей на градиентные и вихревые. Видно, что в полученных выражениях для индуцируемых полей такое разделение имеется. Электрические поля носят градиентный характер, а магнитные – вихревой.

Таким образом, построение электродинамики нужно было начинать с признания зависимости скалярного потенциала от скорости, как это предлагал Вебер. Но в том-то и дело, что природа очень глубоко прячет свои секреты, и, чтобы прийти к такому простому выводу, пришлось пройти путь длиной почти в два столетия. Металлические опилки, которые так дружно выстраивались вокруг полюсов магнита, прямым образом указывали на наличие каких-то силовых полей потенциального характера, но на это не обратили внимания, поэтому и оказалось, что все разглядели только верхушку айсберга, значительная часть которого оставалась невидимой почти двести лет.

С учётом всего сказанного следует полагать, что в основе подавляющего большинства статических и динамических явлений в электродинамике лежит одна единственная формула (4.5), предполагающая зависимость скалярного потенциала заряда от скорости его движения. Из неё следует и статическое взаимодействие зарядов, и законы силового взаимодействия в случае их взаимного движения, и законы излучения и рассеивания. Такой подход позволил объяснить с позиций классической электродинамики следующие явления: фазовая аберрация и поперечный эффект Доплера, которые в рамках существующей классической электродинамики объяснения не находили. После всего сказанного можно снять строительные леса, такие как магнитное поле и магнитный векторный потенциал, которые не позволяют вот уже почти двести лет увидеть здание электродинамики во всём его величии и красоте.

Заметим, однако, что одно из основных уравнений индукции (4.8) можно было получить прямо из закона Ампера, ещё задолго до того, как появились уравнения Максвелла. Закон Ампера, выраженный в векторной форме, определяет магнитное поле в точке Файл:Доп инд Фарадея052.gif в следующем виде:

Файл:Доп инд Фарадея053.gif

где Файл:Доп инд Фарадея054.gif - ток в элементе Файл:Доп инд Фарадея055.gif, Файл:Доп инд Фарадея004.gif - вектор, направленный из Файл:Доп инд Фарадея055.gifв точку Файл:Доп инд Фарадея052.gif.

Можно показать, что

Файл:Доп инд Фарадея056.gif

и, кроме того, что

Файл:Доп инд Фарадея057.gif

Но ротор Файл:Доп инд Фарадея055.gif равен нулю и поэтому окончательно

Файл:Доп инд Фарадея058.gif

Где

Файл:Доп инд Фарадея059.gif

(4.16)

Замечательным свойством этого выражения является то, что векторный потенциал зависит от расстояния до точки наблюдения как Файл:Доп инд Фарадея060.gif. Именно это свойство и позволяет получить законы излучения.

Поскольку Файл:Доп инд Фарадея061.gif, где Файл:Доп инд Фарадея003.gif количество зарядов, приходящееся на единицу длины проводника, из (4.16) получаем:

Файл:Доп инд Фарадея062.gif

Для одиночного заряда Файл:Доп инд Фарадея011.gif это соотношение принимает вид:

Файл:Доп инд Фарадея063.gif

а поскольку

Файл:Доп инд Фарадея064.gif

то

Файл:Доп инд Фарадея065.gif

(4.17)

где Файл:Доп инд Фарадея066.gif - ускорение заряда.

Для одиночного заряда это соотношение выглядит следующим образом:

Файл:Доп инд Фарадея067.gif

(4.18)

Если в соотношениях (4.17) и (4.18) учесть, что потенциалы распространяются с конечной скоростью и учесть запаздывание Файл:Доп инд Фарадея068.gif, и с учётом, что для вакуума Файл:Доп инд Фарадея069.gif, эти соотношения примут вид:

Файл:Доп инд Фарадея070.gif

(4.19)

Файл:Доп инд Фарадея071.gif

(4.20)

Соотношения (4.19) и (4.20) представляют, как показано выше (см. (4.8)), волновые уравнения. Отметим, что эти уравнения - это решение уравнений Максвелла, но в данном случае они получены непосредственно из закона Ампера, вообще не прибегая к уравнениям Максвелла. Остаётся только задать вопрос, почему электродинамика в своё время не пошла этим путём?

Литература

  • Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М: Мир, 1977.
  • Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. М.: Наука, 1967, - 664 - с.
  • Менде Ф. Ф. Существуют ли ошибки в современной физике. Харьков, Константа, 2003.- 72 с.
  • Менде Ф. Ф. Непротиворечивая электродинамика. Харьков, НТМТ, 2008, – 153 с. ISBN 978-966-8603-23-5
  • Mende F. F. On refinement of certain laws of classical electrodynamics, arXiv, physics/0402084.
  • Менде Ф. Ф. К вопросу об уточнении уравнений элетромагнитной индукции. - Харьков, депонирована в ВИНИТИ, №774-В88 Деп., 1988.-32с.
Личные инструменты