Брахистохрона: начало и конец лагранжево-гамильтоновой механики

Материал из Большой Форум

Перейти к: навигация, поиск

БРАХИСТОХРОНА: НАЧАЛО И КОНЕЦ ЛАГРАНЖЕВО-ГАМИЛЬТОНОВОЙ МЕХАНИКИ

Петров Анатолий Михайлович

Дата рождения = 07.09.1937 г.

Гражданство = Флаг СССРФлаг России

Учёная степень = кандидат технических наук

Учёное звание = старший научный сотрудник

Выход теоретической механики (и в целом физики) из методологического тупика, «не замечаемого» стоящими во главе официальной науки учёными-академиками, более заинтересованными в продолжении бездарной растраты бюджетных средств на ложные цели и задачи, типа реализации управляемого термоядерного синтеза на установках «Токамак», чем в развитии новых научно-технических направлений, таких как вихревая и гравитационная энергетика и безопорное движение, упирается в давно назревший в методологии науки пересмотр роли и места постулата, носящего название принципа наименьшего действия и основанного на интуитивном «угадывании истинных траекторий движения» вместо их расчёта точными методами.

Содержание

Понятие действия в теоретической механике

Лагранжев формализм, в качестве конкретной реализации принципа наименьшего действия, изначально предназначался не только для теоретической механики и других разделов теоретической физики, но должен был стать важным элементом философии естествознания. Как он возник и что, на самом деле, собой представляет? Приведём на этот счёт развёрнутую цитату, которая послужит определённым обоснованием правомерности нижеследующей критики.

И.З.Цехмистро, В.И.Штанько и др. «КОНЦЕПЦИЯ ЦЕЛОСТНОСТИ». – Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та, 1987. http://psylib.org.ua/books/koncelo/txt01.htm.

«История возникновения понятия действия столь же своеобразна, как и его последующая судьба в физике, нынешнее положение и значение. Впервые оно было сформулировано Г.Лейбницем в 1669 г. в не опубликованном при жизни и оставшемся незавершённым большом произведении. Лейбниц называет действие “actio formalis” и определяет его как величину, мерой которой служит “определённое количество” материи, передвинувшееся на определённое расстояние (при поступательном равномерном движении) в течение определённого времени... Формальные действия движений “пропорциональны... произведению количества материи, расстояний, на которые они передвигаются, и скоростей”. Тут же он даёт и второе определение действия через произведение “движущихся тел, пройденных промежутков времени и квадратов скоростей”. Оба определения являются строго эквивалентными и могут быть выражены как mvs или mv²t, что вполне совпадает с современным пониманием величины действия.

Обращает на себя внимание определение “formalis”, которое Лейбниц прилагает к понятию действия. По-видимому, с помощью данного термина Лейбниц хотел подчеркнуть всеобщность вводимого им понятия и его важность не только для механики, но и для философии… И хотя непосредственная цель, ради которой ему потребовалось ввести понятие действия, остаётся до сих пор не выясненной ввиду незавершённости указанной работы, можно предположить, что Лейбниц хотел использовать свои исследования по механике, связанные с понятием действия, для обоснования выдвинутого им миропонимания. В основу последнего он положил своеобразный вариационный принцип: истинным миром среди всех возможных миров должен быть тот, который одновременно с неизбежным злом содержит в себе максимум добра. Тогда обнаруживаемое механикой устройство природы, исходя из которого во всех её процессах достигается максимум результатов при минимуме действия, должно было бы служить своеобразным естественнонаучным подтверждением этой философской концепции.

Согласно опубликованному С.Кенигом в 1751 г. отрывку из утерянного письма Лейбница, он первым (его письмо датировано 1707 г.) обнаружил, что в истинных движениях физических систем действие может быть как минимальным, так и максимальным. Это в корне подрывало телеологические мотивы его замысла… В свете этого открытия “наилучший из миров” Лейбница с равной степенью вероятности мог оказаться и наихудшим, в котором содержался бы лишь минимум добра при максимуме зла...

Можно предположить, что исторически генезис понятия действия связан с рассмотрением задач о моментах количества движения в поведении простейших механизмов (рычага, винта), в особенности при нахождении условий равновесия для них. Момент количества движения материальной точки относительно некоторого центра равен векторному произведению радиуса-вектора r на её количество движения mv (mvr), что даёт величину, совпадающую с действием по её размерности. Однако поскольку момент количества движения является вектором, физический смысл этих понятий различен. Возможно, что общее изменение, связанное с актом полного опускания или подъёма плеча рычага, могло дать некоторые представления о произведённом действии и побудить к введению соответствующего понятия...

В эпистемологическом отношении эпоха математической разработки принципа наименьшего действия ознаменовалась важным открытием, согласно которому в истинных движениях физических систем действие, чаще всего минимальное, не обязательно должно быть таким, т.е. оно может быть и максимальным. Даже если в отдельных случаях действие не принимает ни максимума, ни минимума, оно обязательно должно отличаться стационарностью. Иными словами, было найдено существенное уточнение признака истинности движения системы: истинной траекторией является та, на которой вариация действия равна нулю. Данный факт непосредственно указывает на стационарный характер действия в реальных процессах, а то, что за ним скрывается (максимум или в отдельных случаях даже не максимум и не минимум), может быть установлено дополнительными исследованиями. В свете этого открытия разнообразные телеологические привески в работах Лейбница, Мопертюи, а также Эйлера оказались излишними, поскольку природа не ставит перед собой никаких целей и не стремится в своём движении ни к максимуму, ни к минимуму действия (правда, удивительным образом всегда следует стационарности действия)…

Со временем всё большее число физиков сходится во мнении, что в принципе стационарности действия “заключена вся механика” (А.Зоммерфельд), что он есть “высший физический закон”, “венец всей системы” (М.Планк) и т.д. Таким образом, принцип стационарности действия никого не оставляет равнодушным — ни физика, ни математика, ни историка науки, и для этого есть особые причины. Тот факт, что истинное движение системы не всегда совершается с минимумом действия, но имеются случаи максимума данной величины, в корне подрывает телеологическое истолкование принципа наименьшего действия, хотя экстремальный характер действия в истинных движениях не становится менее загадочным, а эпистемологический смысл и основания экстремальности в поведении физических систем остаются столь же непонятными и сегодня. Несмотря на всю исключительность принципа стационарности действия, в настоящее время не существует никаких теоретических разъяснений поразительной успешности и плодотворности его применения, им просто пользуются, ибо реальное движение в физических системах всегда подчиняется ему, а почему — неизвестно.

…Дифференциальные принципы механики считаются само собою разумеющимися: в каждый момент движущаяся частица испытывает ускорение и ведёт себя в этот момент в соответствии с испытываемым ускорением. Однако, как замечает Р.Фейнман, все наши инстинкты причин и следствий “встают на дыбы”, как только мы переходим к интегральным принципам и обнаруживаем, что уже в момент, непосредственно предшествовавший движению, частица каким-то образом взвешивает все возможные пути движения и выбирает тот из них, на котором движение совершается с минимумом действия. Такой характер поведения частицы непостижим для нашего разума. Иногда от этой трудности пытаются “заслониться” поиском какого-нибудь эквивалентного дифференциального принципа, при котором подобной трудности не возникает. Однако применимость дифференциальных принципов ограничена рамками классической механики, поскольку их выражение всегда связано с определённой системой координат и неинвариантно относительно преобразований этих координат. Релятивистски инвариантную форму можно придать только интегральным вариационным принципам стационарности действия (столь счастливым образом избрана Лейбницем величина действия!). Поэтому в эпистемологическом отношении дифференциальные и интегральные принципы отнюдь не являются эквивалентными, и интегральные принципы заслуживают предпочтения и особого изучения. Но именно интегральные принципы отличаются наибольшей загадочностью и таят в себе наибольшие трудности для осмысления...

Можно смириться с квантовой механикой (которую, по словам Р.Фейнмана, и сегодня никто не понимает), если она позволяет всё понять в классической механике и делает особенно прозрачной её “разумность”, вскрывая основания стационарности действия в природе».

Противоречия лагранжева формализма

Приведённый выше текст содержит ряд противоречий, которые, не будучи раскрытыми, затуманивают существо дела.

Так, выясняется, что «принцип наименьшего действия», означающий в лагранжевом формализме равенство нулю вариации действия, строго говоря, следует называть «принципом наименьшего, наибольшего или стационарного действия». Объединяя в один три принципиально разных случая равенства нулю вариации действия (иначе говоря, не придавая значения различиям между минимумом, максимумом и «стационарностью» действия), теоретики «делают хорошую мину при плохой игре», убеждая себя и других в том, что они овладели и оперируют общим критерием «разумности действий» Природы. Причём «действия», не удовлетворяющие этому критерию, объявляются «неразумными», Природе не свойственными и поэтому невозможными.

Насколько это соответствует реальности и действительно ли лагранжев формализм исчерпывает все «разумные действия» Природы? Прежде всего, не однозначной и субъективной остаётся сама трактовка понятия действия. В разных вариантах при определении этого понятия используются (вступают во взаимодействие) как скалярные, так и векторные величины, для которых единой обобщающей формы представления в понятии действия теоретики не находят. Уже по этой причине ручаться за то, что вне теоретического анализа не остались какие-то важные аспекты движения, нет оснований. Кроме того, при введении лагранжева формализма добросовестные исследователи прямо оговаривают условия его корректного применения – только для консервативных голономных систем. В консервативных, т.е. сохраняющих свою энергию, системах нет ни диссипативных потерь, ни поступающей извне энергии. В голономных же системах имеют место лишь геометрические, т.е. зависящие от координат, но не от скоростей и ускорений, связи (неголономные связи тоже допускаются, но только если они поддаются интегрированию и приводятся тем самым к голономным; в этом также явно проглядывает субъективный фактор).

С учётом этих, вполне очевидных и достаточно известных, обстоятельств, в новейших курсах теоретической механики как отечественных, так и зарубежных авторов (см., например, http://www.teoretmeh.ru/ и http://www.springer.com/978-3-540-36804-5) лагранжев формализм вводится лишь в завершающих главах и параграфах, представляясь в качестве одного из удобных средств решения динамических задач в тех случаях, когда исследуемые системы поддаются физически и математически корректному представлению в виде консервативных голономных систем.

А что мы видим, например, в курсе «Механики» Ландау-Лифшица, рекомендованном Министерством образования РФ для студентов физических специальностей университетов и принятом к руководству и неуклонному исполнению ведущими вузами страны, в первую очередь, МГУ имени Ломоносова, который с 1992 года возглавляет профессиональный математик, академик РАН (с 2008 года – вице-президент РАН) В.А.Садовничий?

Сразу скажем, что В.А.Садовничий к первым трём изданиям «Механики» Ландау-Лифшица (1940, 1958 и 1973 гг.) отношения не имеет. Но с 1982 года он является (и по настоящее время остаётся) заведующим кафедрой математического анализа механико-математического факультета (одновременно выполняя с 1982 года обязанности проректора, с 1984 года – первого проректора и с 1992 года – ректора) МГУ. Поэтому за ошибки 4-го издания 1988 года и, тем более, 5-го издания 2001, 2004 и 2007 годов указанного курса «Механики», осуществлённых под профессиональным и административным контролем В.А.Садовничего, последний несёт полную, прямую и непосредственную, личную ответственность.

Как ни странно, но в «Механике» Ландау-Лифшица лагранжев формализм вводится с первых же параграфов курса как единственно возможное и универсальное средство решения любых динамических задач. Естественно, для оправдания такого подхода далее осуществляется «насильственная подгонка» реальных задач под случай консервативных голономных систем. В итоге, решение важнейших задач динамики (в первую очередь, об осцилляторе, о вращающемся волчке, кеплеровой задачи) осуществляется с грубыми искажениями их физического смысла и даже с откровенными фальсификациями. Достаточно сказать, что для осциллятора в режиме резонанса, при гармоническом входном воздействии F(t) и реакции системы х(t) с линейно возрастающей во времени амплитудой, лагранжев формализм оперирует не имеющей физического смысла и реально не существующей величиной «потенциальной энергии системы х(t)F(t)» с постоянной составляющей, возрастающей линейно во времени, тогда как реально постоянная составляющая энергии осциллятора возрастает во времени по квадратичному закону.

Прецессия волчка, представляющая собой особый вид безынерционного движения, трактуется как обычное «свободное вращение волчка», для которого считается допустимой процедура векторного (по правилу параллелограмма) сложения угловых скоростей прецессии и вращения волчка вокруг своей оси, сопровождаемая абсурдными для данного случая расчётными формулами. В кеплеровой задаче открытый внешний энергообмен небесного тела искусственно подгоняется под фиктивный «закон сохранения энергии», в результате чего общая энергия небесного тела (планеты или её спутника) принимает физически абсурдные отрицательные значения. К тому же, в такой трактовке кеплерова задача оказывается аналитически неразрешимой, доступной лишь машинному счёту.

Важное достоинство или неисправимый порок?

К достоинствам лагранжева формализма относят применение интегральных методов анализа, якобы имеющих перед дифференциальными методами преимущество ковариантности (независимости от выбора системы координат). Указанная ковариантность обеспечивается применением тензорного исчисления, о чём прямо не говорится и даже скрывается, дабы создать впечатление полной согласованности этой методологии с законами и методологией ньютоновой механики. С этой целью искусственно сохраняется терминология векторного исчисления там, где уже оперируют не векторами, а тензорами (так, продолжают говорить о первой и второй производных по времени от координат как векторах скоростей и ускорений в трёхмерном пространстве, хотя фактически имеют дело с первой и второй дифференциальными формами, являющимися не векторами, а тензорами). В этом видится сознательное дезинформирование, прежде всего, студенческой аудитории, а затем и научно-технической интеллигенции в целом, имеющее целью скрыть неисправимые пороки лагранжева формализма и как можно дольше удерживать безальтернативно монопольное положение этой методологии в теоретической физике.

Но, сколь бы долгим для той или иной конкретной задачи ни было полное загадок и тайн ковариантное оперирование виртуальными траекториями и характеристиками движения, приходит время каким-то образом увязать его итоги с дифференциальными методами и характеристиками, имеющими реальный физический смысл. Как этот процесс осуществляется? Приравнивание вариации действия к нулю приводит к уравнению Лагранжа, в котором фигурируют частные производные от функции Лагранжа по обобщённым координатам и скоростям. То, что, на самом деле, это не производные и не скорости, а 1-дифференциальные формы, не обладающие реальным физическим смыслом, уже никого не интересует. Выдвигается (постулируется) единственное условие: абстрактное манипулирование символами должно завершиться получением дифференциального уравнения в виде реального ньютонова баланса сил!

И, оказывается, никаких умственных усилий для выполнения этого условия не требуется: просто сообщается, что функция Лагранжа и обобщённые координаты заведомо были «угаданы» так, чтобы частные производные от функции Лагранжа по обобщённым координатам и скоростям соответствовали реальным векторным величинам реально действующих для данной системы внешних и внутренних сил. Ну, а дальше задача решается уже обычным порядком, на основе давно и хорошо известных дифференциальных уравнений, представляющих собой ньютоновы балансы сил. Спрашивается, зачем вообще была нужна эта «методологическая надстройка», если всё свелось к традиционному методу решения динамической задачи.

Здесь же обнаруживается и разгадка тайны о «разумности» Природы и движущихся тел и частиц, якобы заранее оценивающих и перебирающих различные варианты предстоящего пути и уже в начале своего пути «знающих» его конечную точку. Эта разгадка оказывается предельно простой: соблюдение динамического равновесия в виде ньютонова баланса сил – это и есть необходимое и достаточное условие равенства нулю вариации действия, ибо в ньютоновом балансе сил заложен вполне определённый закон, а, значит, и итог движения, причём содержательно точнее и полнее, чем в фиксируемом лагранжевым формализмом «наименьшем, наибольшем или стационарном действии».

В связи с вышесказанным зададимся таким вопросом: если реальные силы можно определить с помощью виртуальных интегральных характеристик лагранжева формализма, то должна существовать и обратная процедура определения интегральных характеристик движения на основе знания реального ньютонова силового баланса? Ответ на этот вопрос парадоксален: процедура, обратная частному дифференцированию функции Лагранжа, в рассматриваемой методологии отсутствует!

Конечно, интегрированием ньютонова баланса мы получаем реальные энергетические характеристики движения, но с виртуальными энергетическими характеристиками лагранжево-гамильтонова формализма (включая функцию Гамильтона, призванную представлять энергию системы) они ничего общего не имеют. К примеру, для осциллятора лагранжев формализм «угадывает» величину «потенциальной энергии системы» в виде величины xF(t), частным дифференцированием которой по х получают величину внешней силы F(t). Однако обратной процедуры вычисления «потенциальной энергии системы» из известной величины внешней силы, в лагранжевом формализме нет: указанная выше «потенциальная энергия системы», учитывающая поступление энергии извне, просто «угадывается» в виде величины xF(t). Понятно, что никакого физического смысла эта величина не имеет, поскольку реальная величина поступающей в осциллятор энергии определяется интегралом ∫F(t)dx.

В этом проявляется коренной порок векторно-тензорного математического аппарата, представляющего собой алгебру без векторного деления. Необходимость использования алгебры с делением, казавшаяся на рубеже ХIХ-ХХ веков не актуальной и поэтому полностью тогда проигнорированная физиками-теоретиками, обернулась тяжелейшими методологическими издержками на протяжении всего ХХ века.

Мнения учёных о принципе наименьшего действия

Начиная с появления в науке принципа наименьшего действия, выдающиеся учёные высказывали сомнения относительно его универсальности. Но, к сожалению, эти предостережения были проигнорированы, и к началу ХХ века сам принцип и лежащий в его основе лагранжев формализм заняли в теоретической физике господствующее («монопольно безальтернативное») положение. Приведём несколько цитат, касающихся истории вопроса и характеризующих определённое отношение учёных к сложившемуся положению.

(http://ru.wikipedia.org/wiki/):

«При́нцип наиме́ньшего де́йствия Гамильто́на (также просто принцип Гамильтона), точнее при́нцип стациона́рности де́йствия — способ получения уравнений движения физической системы при помощи поиска стационарного (часто — экстремального, обычно, в связи со сложившейся традицией определения знака действия, наименьшего) значения специального функционала — действия. Назван в честь Уильяма Гамильтона, использовавшего этот принцип для построения так называемого гамильтонова формализма в классической механике.

Принцип стационарности действия — наиболее важный среди семейства экстремальных принципов. Не все физические системы имеют уравнения движения, которые можно получить из этого принципа, однако все фундаментальные взаимодействия ему подчиняются, в связи с чем этот принцип является одним из ключевых положений современной физики. Получаемые с его помощью уравнения движения имеют название уравнений Эйлера — Лагранжа…

Принцип наименьшего действия был сначала сформулирован Мопертюи в 1746 году и далее развивался (после 1748 года) математиками Эйлером, Лагранжем и Гамильтоном. Мопертюи пришёл к этому принципу из ощущения, что совершенство Вселенной требует определённой экономии в природе и противоречит любым бесполезным расходам энергии. Естественное движение должно быть таким, чтобы сделать некоторую величину минимальной. Нужно было только найти эту величину, что он и продолжал делать. Она являлась произведением продолжительности (время) движения в пределах системы на удвоенную величину, которую мы теперь называем кинетической энергией системы.

Эйлер (в «Réflexions sur quelques loix générales de la nature», 1748) принимает принцип наименьшего количества действия, называя его «усилием». Его выражение соответствует тому, что мы теперь назвали бы потенциальной энергией, так что его утверждение наименьшего количества действия в статике эквивалентно принципу, что система тел в покое примет конфигурацию, которая минимизирует полную потенциальную энергию…

Принцип наименьшего действия служит основой лагранжевой формулировки механики… Необходимо заметить, что если из условий задачи принципиально можно найти закон движения, то это автоматически не означает, что можно построить функционал, принимающий стационарное значение при истинном движении. Примером может служить совместное движение электрических зарядов и монополей — магнитных зарядов — в электромагнитном поле. Их уравнения движения невозможно вывести из принципа стационарности действия. Аналогично некоторые гамильтоновы системы имеют уравнения движения, не выводимые из этого принципа…

В квантовой механике уже никто не требует от частицы двигаться одним образом и не двигаться другим. Мы просто честно говорим то, что диктуется законами квантовой механики. А именно: частица движется из начального состояния в конечное сразу по всем мыслимым траекториям (которых, очевидно, бесконечное число). Амплитуда вероятности перехода из одного заданного состояния в другое является суммой амплитуд по всем этим траекториям и записывается в виде функционального интеграла…

http://ser.t-k.ru/Stat/Princip/princip.html:

«О трудностях становления понятия действия в механике и не всегда ясном его понимании свидетельствуют и более поздние сочинения… Д'Аламбер также указывает на произвольность математического выражения действия, под которым, по его мнению, можно было бы понимать произведение массы на скорость, массы на квадрат скорости или на любую другую функцию пространства и времени, “но первоначальное и метафизическое понятие слова действие не будет от этого яснее”…

Идейная борьба вокруг принципа стационарности действия продолжается и сегодня. С точки зрения формы любая содержательная интерпретация принципа стационарности действия выливается в рассуждения, образующие в своей совокупности некоторую импликативно-логическую структуру, на что и указывает связка «если..., то...». Эта структура является обычной и совершенно естественной для дискурсивной части человеческого мышления. Но при попытке обратной реинтерпретации принципа стационарности действия непосредственно на физической системе данная эпистемологическая структура его выражения приводит к известным трудностям, согласно которым частица «наперёд знает» будущую траекторию своего движения, каким-то образом взвешивает все возможные пути движения и выбирает истинный и т. п.

Иллюстрацию этих весьма характерных методологических затруднений, связанных с интегральными вариационными принципами, можно привести из «Фейнмановских лекций по физике»: «...как всё-таки частица находит правильный путь? Уж не «обнюхивает» ли она соседние пути, прикидывая, к чему они приведут – к большему или меньшему действию? Правда ли, что частица не просто «идёт верным путём», а пересматривает все другие мыслимые траектории? ...Самое чудесное во всём этом – то, что всё действительно обстоит так. Именно это утверждают законы квантовой механики. Так что наш принцип наименьшего действия сформулирован не полностью. Он состоит не в том, что частица избирает путь наименьшего действия, а в том, что она «чует» все соседние пути и выбирает тот, вдоль которого действие минимально, и способ этого выбора сходен с тем, каким свет отбирает кратчайшее время».

Объяснение гносеологических корней подобного «одухотворения» физической частицы следует искать в неосознаваемом смешении объекта научной теории с реальным физическим объектом, формы нашего знания о реальном объекте и в особенности логической структуры выражения в нашем знании объективной закономерности в его поведении – с этой закономерностью, реально присущей реальному физическому объекту.

Нетрудно видеть, что именно такой, обычно не осознаваемый, перенос указанной импликативно-логической эпистемологической формы выражения принципа стационарности действия из сферы человеческого мышления непосредственно на физическую частицу (систему) является ответственным за последующее приписывание ей «свободы воли», «способности к мышлению» и т. п. На наш взгляд, именно здесь лежит ключ к пониманию гносеологических корней теологических и телеологических спекуляций на принципе стационарности действия».

(http://psylib.org.ua/books/koncelo/txt01.htm):

«…Понятие “действия” не имеет никакого отношения не только к кванту действия, как какой то минимальной величине, но и вообще к “действию” как таковому, т.е. взаимодействию между телами. И с таким же успехом его можно было бы назвать принципом наименьшего зла или наименьших потрясений или наибольшей влюблённости, а уже исходя из того, что конкретный автор хочет получить, используя этот принцип, он и наполнял бы содержанием понятие зла, влюблённости или потрясений. И вообще складывается такое впечатление, что каждый автор, излагая свой вариант этого принципа, как бы предлагает вам сыграть в карты, а после окончания игры, исходя из того, что получилось, объявляет вам, что он выиграл, потому что мы играли в очко или, при другом раскладе, всё равно говорит, что он выиграл, потому что мы играли в дурака.

А такое название этот принцип получил еще в 1744 году, когда даже не существовало таких понятий, как энергия, мощность и т.д., именно исходя из того, что подразумевалось достижение какой-то цели, как, например, при игре в карты, а не исходя из физического смысла. Мопертюи дал ему это название, исходя из метафизических представлений о Природе, где всё должно происходить из каких-то разумных соображений, как будто бы Природа в своих действиях преследует какие-то цели, которые сама перед собою и ставит, т.е. имеется в виду наличие Бога, который осуществляет в Природе только разумные процессы. А ведь кроме разумности поведения в этом принципе действительное движение в конкретное время приходится рассчитывать с помощью будущего движения, т.е. получается, что настоящее зависит от будущего и, следовательно, без божественного предвидения здесь никак не обойтись. И только позже в этот принцип принесли математическое содержание великие геометры (читай математики) Эйлер и Лагранж, а затем и Гамильтон, но божественное начало так и продолжает витать над этим принципом.

…Вопрос действительно очень серьёзный, т.к. с помощью принципа наименьшего действия и сейчас пытаются получить “все особенности действительного мира”. Вначале из механики этот принцип стараниями Гельмгольца перебрался в термодинамику, а сейчас уже и в квантовую механику, и в биологию, и в экономику. По молодости и Эйлер, величайший геометр всех времён и народов, который и заложил математические основы в этот принцип (рискну предположить, что и основы Русской математической школы), тоже придавал ему теологическое значение и очень много уделял ему внимания, но со временем его энтузиазм иссяк и он, также как и Лагранж, отвергал претензии этого принципа на всеобщую значимость и на звание основного общего закона природы.

Но вот, например, уже в современном цитатнике [Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособие в 10-ти т.Т.1. Механика. - 5-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с.] (считай официальном учебнике СССР, а теперь России) этот принцип именно основным законом Природы и объявляется. Хотя, я думаю, это уже, наверное, больше относится не к науке, а к политике, ведь, как я уже указывал … на примере с лагранжианом, главный проповедник этого принципа Ландау из коньюктурных соображений очень быстро меняет свои научные взгляды, исходя из “официальной” точки зрения в науке. И хотя формально вроде бы все современные учёные отвергают существование Бога, но, используя этот принцип, они официально вносят его в науку.

Да, история у этого принципа громкая (даже Вольтер руку приложил как писатель) и исторически его идея была первой в ряду многих вариационных принципов, но вот практической пользы от него оказалось ещё меньше, чем от уравнений Лагранжа 2-го рода, возможности которых рассмотрены … в [Юдин С.Ю. Моделирование систем и оптимизация их параметров. - Волгоград: Электронный вариант книги (http://ser.t-k.ru), 2003. - 208с.]. Например, Пуассон назвал его “лишь бесполезным правилом”, а Планк писал, что он “не оказал никакого существенного практического влияния на научный прогресс” (как Вы поняли, это высказывание, конечно же, относилось к прогрессу до появления его кванта действия)...

Надо сказать, что в то время, когда математика становилась на ноги, вариационные принципы в механике развивались очень бурно и поэтому не изобрести чего-нибудь новенького в математическом плане тогда не мог только ленивый. Правда, все эти вариационные принципы являются ближайшими родственниками основного уравнения динамики, т.е. дифференциального вариационного принципа Даламбера-Лагранжа и получены в основном для консервативных систем, когда полная энергия в начальной и конечной точках движения системы равны, т.е. в них обязательно, как мера механической формы движения материи, используется энергия, и при этом обязательно должен соблюдаться закон её сохранения. Но теперь на вариационные интегральные принципы стали возлагать очень большие надежды и видели в них не просто очередной закон Природы, а закон над законами, т.е. инструмент, который позволит получить все остальные законы. Но с применением принципа наименьшего действия возникла одна очень большая проблема, а именно трудность в “математической формулировке меры для количества добра”.

Наиболее известны формулировки Мопертюи-Лагранжа и Гамильтона-Якоби. В первом случае критерий оптимизации вычисляется как интеграл по пути от произведения массы на скорость, т.е. количества движения, а во втором как интеграл по времени от лагранжиана, т.е. разности кинетической и потенциальной энергий системы. Как в одном, так и в другом случае размерность критерия получается джоуль умножить на секунду, но физический смысл, как мы видим, здесь совершенно разный. И вот как раз физический смысл всех этих изобретаемых критериев оптимизации никак никому и не удавалось понять.

Для Лагранжа, например, физический смысл принципа наименьшего действия заключался именно в конкретизации закона живых сил (читай закона сохранения энергии), и он даже писал: “его можно было бы с бóльшим основанием назвать принципом наибольшей или наименьшей живой силы”. А Лаплас о механическом содержании этого принципа говорил так: “интеграл живой силы системы, умноженный на элемент времени, есть минимум, так что, следовательно, истинная экономия природы есть экономия живой силы”. Но, как мне кажется, ближе всех к сущности этого принципа подошёл Эддингтон, который очень остроумно заметил, что принцип наименьшего действия можно сравнить с утверждением: “если бы законы арифметики перестали быть верными, то 2+2 было бы больше или равно (но, наверное, не меньше чем) четырём”…

Таким образом, мы видим, что никаких объективных предпосылок для изобретения принципа наименьшего действия в XVIII веке не было, т.к. и для света, и для механического движения никакого универсального закона движения из одной точки пространства в другую за минимальное время не существует. Но, как видим, желание получить такой закон законов было столь велико, что замечаний, высказанных … по поводу принципа кратчайшего времени, или старались не замечать, или просто не могли провести столь точные эксперименты. Нельзя, конечно же, не учитывать и личной заинтересованности некоторых учёных, например, кроме упоминавшегося выше Лагранжа, Мопертюи приложил просто титанические усилия по увековечиванию своего имени в этом принципе вплоть до привлечения в эту борьбу научных идей царствующих особ, что, кстати, довело его даже до сумасшествия. Но тут же следует заметить, что вопрос этот действительно очень запутанный и требовал проведения очень сложных экспериментов, не доступных в то время. Ведь мы с вами провели не натурные, а вычислительные эксперименты на математических моделях, что стало возможно только при решении дифференциальных уравнений численными методами на компьютерах…

С полной уверенностью можно констатировать, что никакого принципа наименьшего действия, равно как и самой величины “действия”, в Природе не существует, т.е. научная ценность этого принципа примерно такая же, как должность 5-го заместителя младшего помощника старшего дворника. При этом, если и считать “действие” мерой чего-нибудь, то ни в коем случае не мерой механической формы движения материи, а мерой добра и зла, которые каждый автор понимает по своему чисто субъективно и для различных задач изобретает новые критерии оценки этих величин».

Заметим, что один из авторов принципа наименьшего действия Гамильтон писал (Связь времён. Вып.3. – г. Березники, Изд.-инф. центр, 1996, с.101): «Хотя закон наименьшего действия стал … в ряд высочайших теорем физики, всё же его притязания на космологическую необходимость на основе экономии во Вселенной в настоящее время обычно отвергаются. Среди других причин это вытекает из того, что величина, которая претендует на то, чтобы быть сэкономленной, в действительности часто расточительно расходуется».

Наконец, приведём важное высказывание выдающегося математика Анри Пуанкаре (А.Пуанкаре. О науке. – М.: «Наука», 1990, с.105):

«…Принцип наименьшего действия приложим к обратимым процессам, но он оказывается совершенно недостаточным, коль скоро речь идёт о необратимых процессах. Попытка Гельмгольца распространить его на эту область явлений не имела и не могла иметь успеха: здесь всё ещё принадлежит будущему. Сама формулировка принципа наименьшего действия имеет в себе нечто, неприятно поражающее наш ум. При переходе от одной точки к другой материальная точка (une molécule), не подверженная действию какой-либо силы, но подчинённая условию не сходить с некоторой поверхности, движется по геодезической линии, т.е. по кратчайшему пути. Эта частица как будто знает ту точку, куда её желают привести, предвидит время, которое она затратит, следуя по тому или иному пути, и, наконец, выбирает путь наиболее подходящий. В такой формулировке принципа частица представлена нам как бы одушевлённым существом, обладающим свободой воли. Ясно, что следовало бы заменить эту формулировку другой, более подходящей, в которой, выражаясь языком философа, конечные причины не становились бы явным образом на место причин действующих».

Реальная преграда на пути научно-технического прогресса

Отказавшись на рубеже ХIХ-ХХ веков от передовой методологии, ориентированной на анализ открытых динамических систем и опирающейся на математический аппарат алгебр с векторным делением, теоретическая физика стала лёгкой добычей научных аферистов, которые вместо решения актуальных научно-технических проблем принялись паразитировать на скрытых изъянах лагранжево-гамильтонова формализма. К числу самых крупных научных афёр ХХ века, тяжкие последствия которых ещё долгое время предстоит преодолевать, относятся обе, противоречащие друг другу и вместе – здравому смыслу, теории относительности Эйнштейна. В них, например, широко используются допускаемые лагранжево-гамильтоновым формализмом, но физически не контролируемые, частные производные (фактически представляющие тензорные операции дифференцирования) скалярных величин по векторам (например, энергии – по скорости), результатом которых выступают якобы векторные (а, на самом деле, тензорные) величины и т.д.

В настоящее время характерная для лагранжева формализма абсолютизация законов сохранения энергии встаёт реальной преградой на пути развития альтернативных видов энергетики (в частности, вихревой и гравитационной) и транспорта (включая системы безопорного движения). Методологически порочной оказывается процедура суммирования конечной величины энергии динамической системы с бесконечно большой энергией внешнего источника в некую единую величину на основе абстрактного (в данном случае, абсурдного) «закона сохранения энергии», якобы препятствующего накоплению динамической системой ничем (кроме технологических возможностей) не ограниченных количеств энергии из внешних источников в резонансном режиме.

Заметим, что, на самом деле, постоянное по направлению в пространстве внешнее гравитационное воздействие «автоматически» преобразуется в переменное для данной динамической системы благодаря собственному вращению самой системы. При настройке внутреннего колебательного процесса в резонанс с частотой вращения системы и благодаря сочетанию инерционного и безынерционного видов движения величина поступающей в систему гравитационной энергии может значительно превышать внутренние затраты на поддержание требуемого резонансного процесса и, следовательно, обеспечивать выполнение динамической системой полезной работы за счёт поступающей извне энергии.

Понятно, что дорогу новому, давно назревшему, этапу научно-технической революции, характерные особенности которой мы отметили выше, невозможно открыть без коренной методологической модернизации теоретической физики и, в первую очередь, теоретической механики.

Задача о математическом маятнике

Проверим декларируемую (фактически постулируемую) «универсальность» лагранжева формализма на примере задачи о математическом маятнике. В этой задаче обычно ограничиваются случаем малых амплитуд колебаний, когда последние сохраняют гармонический вид. Но мы рассмотрим колебания маятника с максимальной амплитудой, т.е. от нулевого угла отклонения α от положения равновесия (при α=0) до максимального угла отклонения (при α=90º).

Ускорение свободного падения принимаем равным g, длину нити (или «невесомого стержня»), на которой подвешен маятник, – равной ℓ. Массу маятника считаем равной единице. Тогда уравнение движения маятника (в виде баланса углового ускорения и возвращающей в положение равновесия силы, приведённой к единичному радиусу вращательного движения) будет иметь вид:

d²α/dt²+(g/ℓ) sinα=0.

При малых углах отклонения (при sinα≈α) уравнение движения принимает вид:

d²α/dt²+(g/ℓ)α=0.

Его решение:

α=Аsin(ωt+φ),

где А – амплитуда колебаний, φ – начальная фаза, ω=√(g/ℓ) – угловая скорость, t – время.

Период колебаний равен T=2π/ω=2π√(ℓ/g).

Однако в общем случае решение задачи найти не просто. В то же время у нас есть возможность вычислить основные динамические характеристики маятника и без решения уравнения движения.

Так, кинетическая энергия маятника (при полном размахе колебаний) равна:

Екин=gℓсоsα=v²/2.

Соответственно, потенциальная энергия равна:

Епот=gℓ(1–соsα).

Сумма этих величин в процессе движения маятника остаётся неизменной:

Екин+Епот=gℓ=const.

Функция Лагранжа, представляющая собой разность этих величин, имеет вид:

L=Екин–Епот=gℓ(2соsα–1).

Из уравнения движения получаем величину углового ускорения при любом угле отклонения:

d²α/dt² =ε= –(g/ℓ) sinα.

Из величины кинетической энергии получаем мгновенное значение угловой скорости:

dα/dt=ω=v/ℓ=√[(2g соsα)/ℓ].

Соответственно, имеем следующие величины линейного перемещения (длины дуги) s при произвольном угле отклонения α от положения равновесия

s=αℓ, 0≤α≤π/2,

линейной скорости

v=ωℓ=√(2gℓсоsα)

и линейного ускорения

а = εℓ= –g sinα.

Для определения периода колебаний (при максимальной амплитуде) воспользуемся приближённым методом расчёта. Найдём среднюю угловую скорость движения, проведя усреднение по углу отклонения (более строгий расчёт требует усреднения по времени, но в первом приближении точность найденной нами величины будет достаточной):

(2/π)∫√[(2g соsα)/ℓ]dα=(2/π) [√(2g/ℓ)]∫√(соsα)dα.

Для вычисления этого выражения найдём подходящий табличный интеграл (Г.Б.Двайт. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: «Наука», 1973, с.36, формула 384.3). http://www.alleng.ru/d/math/math209.htm

Чтобы воспользоваться найденной формулой, осуществим в подынтегральной функции замену переменной:

z=соsα, dz= –(sinα)dα, dα= –dz/√(1–z²).

Тогда:

∫√(соsα)dα= –∫(√z)dz/√(1–z²)= –(2/3)arcsin(√z)³= –(2/3)arcsin(√соsα)³.

Верхний предел интегрирования (α=π/2, соsα=0) даёт значение интеграла, равное нулю. Нижний предел (α=0, соsα=1) даёт значение интеграла, равное π/3.

Таким образом, средняя угловая скорость ω=(2/3)√(2g/ℓ). Это соответствует периоду колебаний Т=2π/ω=3π√(ℓ/2g). Понятно, что движение маятника от положения равновесия (α=0) до верхнего положения (α=π/2), как и в обратном направлении, осуществляется за четверть периода колебаний.

Проинтегрировав функцию Лагранжа по времени от t=0 до t=Т/4, найдём величину действия S (за четверть периода):

S=∫gℓ(2соsα–1)dt=2gℓ∫соsαdt–gℓ∫dt.

Поскольку величина угла отклонения α в виде функции времени нам не известна, то в подынтегральном выражении первого слагаемого произведём замену переменной dt=ds/v, что приведёт нас к уже встречавшемуся выше табличному интегралу. Интеграл же во втором слагаемом элементарно даёт величину верхнего предела интегрирования, равную Т/4 (нижний предел интегрирования равняется нулю). Таким образом, получаем:

S=2gℓ∫соsαds/v–gℓТ/4=ℓ√(2gℓ) ∫√(соsα)dα–gℓТ/4= (√2/3–3/4√2)πℓ√(gℓ).

Что можно сказать об этой величине? Она близка к нулю, что не удивительно, поскольку функция Лагранжа, находящаяся в подынтегральном выражении, монотонно изменяется от величины +gℓ, в момент времени t=0, до величины –gℓ, в момент времени t=Т/4. По пути движения (кроме начальной и конечной точек) эта величина экстремальных значений не принимает. Иначе говоря, здесь имеет место именно тот случай, который теоретики относят к «стационарному действию».

Вариация действия в данной задаче, конечно, равна нулю, поскольку выполняется необходимое и достаточное для этого условие – соблюдение, в каждой точке траектории, ньютонова баланса сил согласно заданному уравнению движения. Никаких причин для нарушения этого баланса условиями задачи не предусматривается, следовательно, их и не должно быть.

Каков в данном случае физический смысл соблюдения ньютонова баланса сил и, соответственно, равенства нулю вариации действия? Физически маятнику некуда отклониться от той траектории движения, которая задана условиями задачи. Он не может отклониться от точки подвеса маятника на расстояние, большее или меньшее величины ℓ, поскольку этого не позволяет «нерастяжимая нить», поддерживаемая в натянутом состоянии силой земного притяжения (за исключением точки α=90º, где вместо нити следует иметь в виду «невесомый, нерастяжимый и несжимаемый стержень»). Маятник не может отклониться и от определённого темпа перемещения по траектории, который задаётся уравнением движения (балансом сил). По этой причине вариация действия не может иметь иных значений, кроме нулевого. А ведь этот, в общем-то тривиальный, результат методология лагранжианов-гамильтонианов преподносит в качестве теоретического обоснования «разумности» Природы!

На самом деле, места для «чудес» и веры в «разумность» Природы (включая «разумность» движущихся тел, якобы «предугадывающих» конечный пункт своего движения) в динамических задачах нет. Подобные «методологические надстройки» являются «фантазиями» теоретиков, возникающими в результате их мысленного блуждания по виртуальным траекториям, не имеющим реального физического смысла. А тот факт, что в данной задаче действие не принимает экстремальных значений, легко объясняется тем, что такого требования (ни в явном, ни в скрытом виде) в условиях задачи нет. Так что и варьировать здесь нечем и незачем, поскольку тождественное равенство нулю вариации действия осуществляется «автоматически».

Можно высказаться и более категорично: задача о математическом маятнике не относится к классу вариационных задач, поэтому обращение к лагранжеву формализму, являющемуся методологическим инструментом «принципа наименьшего, наибольшего или стационарного действия», в данном случае оказывается совершенно не продуктивным.

Циклоида как таутохрона и брахистохрона

Исторически первой задачей вариационного исчисления считается сформулированная И.Бернулли в 1696 году (и тогда же решённая им, а также пятью другими выдающимися математиками) задача о линии скорейшего перехода материальной точки под действием силы тяжести из данной точки А в нижележащую точку В (не расположенную на одной вертикали с А). Задача получила название задачи о брахистохроне (от греч. bráchistos – кратчайший и chrónos – время). А её решение показало, что искомой линией является обыкновенная (т.е. не укороченная и не удлинённая) циклоида – линия, которую описывает точка, закреплённая на окружности производящего круга, когда этот круг катится (без скольжения) по некоторой прямой (направляющей).

Несколько ранее (в 1659 году) Х.Гюйгенс показал (к этому его привела задача Б.Паскаля о циклоиде), что циклоида является решением задачи о таутохроне (от греч. tautós – тот же самый и chrónos – время), а именно задачи о нахождении кривой, для которой время, затраченное частицей, скользящей вниз по ней под действием однородной силы тяжести, в самой нижней точке не зависит от выбора начальной точки. В частности, материальная точка, движущаяся под действием силы тяжести по обыкновенной циклоиде, обращённой вогнутостью вверх, достигает низшего положения за промежуток времени t=π√(r/g), где r – радиус производящего круга, g – ускорение силы тяжести. Таким образом, период колебаний циклоидального маятника, не зависящий от амплитуды, равняется Т=4π√(r/g) (здесь и далее см. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматлит, 1995, сс. 801-805).

Сравним между собой математический и циклоидальный маятники (последний в виде катящегося без скольжения производящего круга) по времени, затрачиваемому силой тяжести на перемещение материальной точки на одно и то же расстояние по горизонтали за полупериод колебаний. Циклоидальный маятник за полупериод колебаний, равный Т/2=2π√(r/g), т.е. за полный оборот производящего круга, перемещает материальную точку на расстояние 2πr по горизонтали. Таким образом, на перемещение материальной точки на единичное расстояние (отмеряемое по горизонтали) циклоидальный маятник затрачивает время t=1/√(gr).

Математический маятник за полупериод Т/2=(3π/2)√(ℓ/2g) колебаний полного размаха (т.е. с максимальной амплитудой) перемещает материальную точку на расстояние 2ℓ по горизонтали. Таким образом, на перемещение материальной точки на единичное расстояние по горизонтали математический маятник затрачивает время t=(3π/4)√(/2gℓ). Если приравнять перепады высот в движении обоих маятников (т.е. принять 2r=ℓ), то окажется, что время, затрачиваемое на перемещение материальной точки на единичное расстояние по горизонтали, у математического маятника больше, чем у циклоидального, в 3π/8=1,178 раза или примерно на 18%.

Поскольку точное решение задачи о брахистохроне известно, посмотрим, чего не достаёт траектории математического маятника, чтобы приобрести характерное для циклоиды свойство экстремальности. Свойства брахистохроны циклоида приобретает благодаря тому, что присущее ей вращательное движение, в отличие от траектории движения математического маятника, оказывается равномерным (происходящим с постоянной угловой скоростью), а для того, чтобы сила земного притяжения, возвращающая материальную точку в положение равновесия, была пропорциональна величине отклонения от положения равновесия, точка подвеса маятника (точка касания производящего круга с направляющей) приводится в равномерное поступательное движение с такой же линейной скоростью, какая присутствует на ободе колеса при вращательном движении (в итоге это равносильно качению производящего круга по направляющей без скольжения).

При колебаниях не полного размаха (т.е. при начале движения материальной точки с нулевой скоростью не из верхнего положения) циклоида проявляет свойства таутохроны, т.е. время, затрачиваемое на достижение нижней точки траектории, остаётся неизменным. Однако при этом вращение производящего круга становится неравномерным, отчего экстремальное свойство перемещения материальной точки за минимальное время на заданное расстояние по горизонтали циклоида утрачивает.

Ещё один парадокс лагранжева формализма состоит в том, что в случае с таутохроной утрата циклоидой её экстремальных свойств никак не обнаруживается: единственным критерием по-прежнему остаётся равенство нулю вариации действия, а происходящую замену наименьшего действия «стационарным» теоретики предлагают выяснять за пределами проводимого ими анализа.

Поскольку случай таутохроны для нас практического интереса не представляет, мы далее будем рассматривать только колебания брахистохронного маятника с максимальной амплитудой (в виде равномерного качения производящего круга по направляющей без скольжения).

Итак, имеем следующее уравнение движения брахистохронного маятника в декартовой системе координат (х, у):

х=r(ωt+sinωt), y=r(1–cosωt)=2r sin²(ωt/2),

где r – радиус производящего круга, ω=√(g/r) – угловая скорость вращения производящего круга, t – время.

Текущая линейная скорость маятника:

v=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]=rω√(2+2cosωt)=2rω cos(ωt/2).

Текущий радиус кривизны траектории:

Rкр= r2√(2+2cosωt))=4r cos(ωt/2).

Как видим, угловая скорость маятника постоянна и вдвое меньше величины угловой скорости вращения производящего круга:

v/Rкр =ω/2.

Текущее линейное отклонение от положения равновесия (длина дуги или интеграл от линейной скорости по времени в пределах от 0 до t):

s=∫2rω cos(ωt/2)dt=4r sin(ωt/2).

Центростремительное ускорение вращательного движения производящего круга неизменно направлено на центр производящего круга и равно по модулю:

√[(d²x/dt²)²+(d²y/dt²)²]=rω².

Проекция этого ускорения на касательную к траектории (она же – проекция силы тяжести на указанное направление, она же – возвращающая сила, направленная по касательной в сторону положения равновесия):

Fвозвр= –rω² sin(ωt/2)= –g sin(ωt/2).

Сравнивая величины линейного отклонения от положения равновесия и возвращающей силы, убеждаемся в аналогичности колебаний брахистохронного маятника гармоническим колебаниям.

А теперь обратим внимание на следующий важный момент. Вариация действия для брахистохроны, конечно, равняется нулю. Однако это – всего лишь необходимое, но не достаточное условие приобретения циклоидой экстремального свойства (т.е. минимального времени передвижения материальной точки по траектории в вертикальной плоскости между двумя заданными точками, не лежащими на одной вертикали).

Какое же условие для этого является достаточным? Точное решение задачи о брахистохроне даётся поиском минимального значения интеграла времени, а вовсе не интеграла от функции Лагранжа, называемого действием. К тому же, примечательным фактом является то, что, кроме этой интегральной характеристики, представляющей конечный результат решения задачи, сам автор задачи о брахистохроне И.Бернулли указал точный дифференциальный критерий, соблюдение которого в каждой точке траектории обеспечивает правильное решение задачи. Каков этот критерий?

Поместим начало координат и отсчёта не в нижней, а верхней точке циклоиды, т.е. так, как задача о брахистохроне была поставлена и решалась в 1696 году (при этом ось абсцисс направляется по ходу поступательного движения, а ось ординат направляется вертикально вниз). Тогда уравнение циклоиды в декартовой системе координат (х, у) принимает следующий вид

х=r(ωt–sinωt), y=r(1–cosωt),

а линейная скорость в каждой точке траектории становится равной величине

v=√[(dx/dt)²+(dy/dt)²]=rω√(2–2cosωt)=2rω sin(ωt/2).

Напомним, что угол α=ωt есть угол поворота производящего круга. А угол, образуемый вертикалью, соединяющей точку опоры производящего круга (её касания с направляющей) с диаметрально противоположной точкой круга, и прямой, соединяющей точку опоры производящего круга (она же – точка подвеса маятника) с текущим положением материальной точки на траектории, является углом отклонения брахистохронного маятника от положения равновесия и равняется величине α/2=ωt/2.

Исходя из законов оптики (точнее из принципа Ферма, согласно которому свет всегда проходит расстояние за кратчайшее время) И.Бернулли установил, что искомая кривая обладает свойствами брахистохроны, если при движении по ней скорость движения в каждой точке пропорциональна синусу угла, образуемого вектором скорости с вертикалью. Из приведённой выше формулы видно, что именно этим свойством обладает циклоида.

Но отсюда также следует, что к решению первой классической задачи вариационного исчисления – задачи о брахистохроне – пресловутый «принцип наименьшего действия» никакого отношения не имеет, оставаясь с первого и, видимо, до последнего (надеемся, что уже завтрашнего!) дня пребывания в составе методологической основы точных наук лишь фантомом, фикцией или «взрослой игрушкой» в руках недобросовестных людей, которые теперь уже сознательно используют этот аппарат в личных карьеристских или узкокорпоративных («клановых») интересах как средство общественного обмана и достижения (сохранения) незаслуженных привилегий.

Потеряет ли что-либо наука, расставшись, наконец, с этим «методологическим балластом»? Нет, в распоряжении аналитика достаточно надёжных средств как для решения новых, так и «старых классических» задач, в которых неожиданно может обнаружиться более глубокое («секретное») содержание, как это произошло, например, с задачей о брахистохроне.

Но на «раскрытии секрета» экстремального свойства циклоиды-брахистохроны мы не заканчиваем анализ, а продолжаем поиски практического использования указанного свойства.

Что лагранжево-гамильтоновым формалистам и не снилось

Пусть s – расстояние по горизонтали между пунктами А и В. Как было показано выше, по кривой, представляющей собой в вертикальной плоскости циклоиду, или, совершая путь на ободе катящегося без скольжения колеса (производящего круга) радиусом r=s/π, масса m перемещается силой гравитации без каких-либо энергетических затрат из пункта А в пункт В за время t=2π/ω, где ω=√(g/r) – угловая скорость вращения производящего круга.

Как видим, сила гравитации способна беззатратно перемещать массу m из одной в другую точку на поверхности Земли, лишь бы в итоге у массы сохранялся исходный гравитационный потенциал. Во всяком случае, теория консервативных голономных систем такой беззатратный процесс «разрешает». А что разрешает сверх этого теория неконсервативных (открытых) неголономных систем?

Представим себе движение по циклоиде на комплексной плоскости, направив действительную ось вертикально вниз, а мнимую ось – по горизонтали в сторону поступательного движения производящего круга. Начало координат поместим в верхнюю точку производящего круга в момент времени t=0 (направляющую располагаем вверху производящего круга, чтобы сила притяжения не тормозила, а поддерживала поступательное движение). Тогда параметры движения (координаты, скорость и ускорение) массы m будут описываться функциями времени:

z=r+irωt–rexp(iωt), dz/dt=irω–irωexp(iωt), d²z/dt²=rω²exp(iωt).

Заменим воображаемый производящий круг реальным маховиком, на ободе которого со сдвигами на 90°, на пружинных динамических подвесах, разместим четыре массы m таким образом, чтобы в установившемся режиме движения полностью компенсировать центробежные силы, равные по модулю величине mrω². Кроме того, возвратные пружины должны иметь жёсткость, равную F/mω² (F – произвольная внешняя сила, отклоняющая массу m от положения равновесия).

Имея в виду появление, в результате принятых мер, дополнительной горизонтальной тяги, введём противодействующую ей силу сопротивления, пропорциональную скорости колебательного движения масс, с коэффициентом сопротивления b (размерность 1/сек), учитывающим совместно как диссипативные потери, так и полезную нагрузку (работу гравитационной силы).

Тогда, во вращающейся с угловой частотой ω системе координат, уравнение движения динамически подвешенной массы под действием силы тяжести будет иметь следующий вид (вектор силы тяжести вращается в обратном направлении):

d²α/dt² + bdα/dt + ω²α = g exp(–iωt).

Решая уравнение, находим:

α = (ig/ωb)exp(–iωt), dα/dt=(g/b)exp(–iωt), d²α/dt²= –i(gω/b)exp(–iωt).

Добавление этих векторных величин (без множителей обратного вращения) в исходные функции времени, описывающие движение по циклоиде, естественно, изменяет характеристики этой кривой и также может влиять на исходную величину ω угловой скорости вращения производящего круга (маховика). Однако мы ставим целью сохранить эту величину ω неизменной и поэтому лишь выясняем, каких затрат (энергии, импульса или момента импульса) требует соблюдение такого условия.

Итак, имеем следующие функции времени x(t), y(t), p(t), q(t), а также их производные по времени, описывающие движение четырёх рабочих масс (со сдвигами по фазе вращения на четверть периода):

x=r+irωt–rexp(iωt)+(ig/ωb),

dx/dt=irω–irωexp(iωt)+(g/b),

d²x/dt²=rω²exp(iωt)–i(gω/b);

y=r+ir(ωt+π/2)–rexp(iωt+π/2)+(ig/ωb),

dy/dt=irω–irωexp(iωt+π/2)+(g/b),

d²y/dt²=rω²exp(iωt+π/2)–i(gω/b);

p=r+ir(ωt+π)–rexp(iωt+π)+(ig/ωb),

dp/dt=irω–irωexp(iωt+π)+(g/b),

d²p/dt²=rω²exp(iωt+π)–i(gω/b);

q=r+ir(ωt+3π/2)–rexp(iωt+3π/2)+(ig/ωb),

dq/dt=irω–irωexp(iωt+3π/2)+(g/b),

d²q/dt²=rω²exp(iωt+3π/2)–i(gω/b);

В статике сдвиг рабочих масс в направлении поступательного движения приводил бы к дополнительному вращающему моменту, тормозящему вращение маховика. Однако в динамике существенно лишь положение точки подвеса (опоры) массы m, на которую полностью переносится действующая на неё сила тяжести подобно тому, как это происходит в прецессии волчка.

Более важной оказывается неодинаковость дополнительных моментов импульсов на левой и правой полуарках видоизменившейся циклоиды. Однако речь здесь идёт уже о реактивной мощности, равной нулю за период вращения и поэтому вполне поддающейся нейтрализации.

К полезному эффекту относится постоянная (равная величине 4mgω/b) горизонтальная сила тяги и некоторая часть силы сопротивления, уравновешивающей силу тяги и развивающей активную мощность 4mg²/b. Какую часть этой активной мощности следует отнести к полезной, реализуемой в полезную работу силы тяжести? Исходя из требования оптимальности соотношения между внутренней (затратной) и внешней (полезной) нагрузкой системы, эту величину необходимо уменьшить вдвое. А с учётом балластных свойств маховика, выполняющего функцию стабилизации скорости вращения (или равномерности поступательного движения), следует уменьшить эту мощность ещё вдвое (всего вчетверо).

Таким образом, максимальная полезная мощность, развиваемая силой тяготения в предлагаемом варианте гравитационного двигателя (движителя), определяется величиной: Pmax=mg²/b.

Оппоненты, особенно из числа преподавателей высшей школы, встают горой на защиту «Курса Ландау по физике». Естественно, что ожидать от них объективного разбора предложений автора по созданию систем безопорного движения и гравитационной энергетики не приходится. Их «кредо» чётко сформулировано одним из оппонентов, которое можно принять за общую позицию официальной науки:

«…Приходим к подтверждению общеизвестного факта: работа совершаемая силой тяжести за любой интервал времени равна взятому с обратным знаком изменению потенциальной энергии системы в поле силы тяжести и никакая энергия сверх этой из гравитационного поля извлечена быть не может… Не боясь прослыть ретроградом, заявлю: не бывает гравитационных двигателей! Бывают самоуверенные и безграмотные люди, которые не умеют решать и даже правильно выводить уравнения движения для простейших механических задач».

Тем не менее, на Интернет-форумах в теме «О «вечном двигателе первого рода» в новом контексте» мною приводилась схема эксперимента, подтверждающая реальность безопорного движения и гравитационной энергетики (см., например, http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,231.60.html).

Видимо, нынешнее поколение преподавателей вузов, как и академических учёных, уже не способно критически переосмыслить накопленный за десятилетия профессиональной деятельности научный багаж знаний, чтобы освободить свой ум от сковывающих мышление научных догм и стереотипов. И как раз в один из таких стереотипов превратился лагранжев формализм, некогда сыгравший положительную роль в развитии методологии науки, однако теперь висящий на шее науки тяжёлым мёртвым грузом, препятствующим постановке и решению новых актуальных и практически важных задач. И он будет таковым оставаться, пока его носители, зарабатывающие на нём свой (теперь уже далеко не праведный) «кусок хлеба с маслом», будут сохранять власть в науке.

Во всяком случае, при сохранении на высших постах нынешних руководителей официальной науки, безнадёжно скомпрометировавших себя непосредственной причастностью к двадцатилетнему застою в отечественной науке, не уступающему как по срокам так и по своим последствиям брежневскому в СССР, самой нелепой ошибкой руководства страны было бы начинать, без предварительной очистительной работы, широкое финансирование той рукотворной «чёрной дыры», какой ныне является бывшая некогда передовой в мире российская академическая и вузовская наука.

Заключение

Пришло важное сообщение с «научного фронта»:

«Российский Национальный комитет по теоретической и прикладной механике совместно с Институтом механики МГУ им. М.В.Ломоносова, Институтом проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН, Нижегородским государственным университетом им. Н.И.Лобачевского – Национальным исследовательским университетом при участии Российского федерального ядерного центра – ВНИИ экспериментальной физики, Нижегородского научного центра РАН, ОКБ машиностроения им. И.И.Африкантова проводит в г. Нижнем Новгороде 24-30 августа 2011 года X Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики. В рамках Съезда пройдут Вторая Всероссийская школа молодых учёных-механиков и Собрание Российского Национального комитета по теоретической и прикладной механике.

Оргкомитет Cъезда образован в следующем составе: Г.Г.Черный – председатель, Л.А.Игумнов, В.А.Полянский – заместители председателя; С.Ю.Литвинчук, И.Л.Панкратьева – учёные секретари. Члены Бюро Оргкомитета В.А.Бабешко, И.Г.Горячева, В.Ф.Журавлев, Д.Л.Зверев, Д.М.Климов, В.В.Козлов, В.Е.Костюков, Г.Куликовский, В.А.Левин, И.И.Липатов, А.Г.Литвак, Е.В.Ломакин, Г.А.Любимов, В.П.Матвеенко, Г.К.Михайлов, Н.Ф.Морозов, Ю.С.Осипов, С.Я.Степанов, В.М.Фомин, В.Е.Фортов, Ф.Л.Черноусько, Е.В.Чупрунов».

Неужели «лёд тронулся»?! Однако вот и первое свидетельство того, что, несмотря на летнюю жару, в отечественной науке «маразм продолжает крепчать». Один из авторов, представивших на Съезд новаторский доклад, доктор технических наук профессор Ф.М.Канарёв пишет:

“Оргкомитет Х Всероссийского съезда механиков отказался допустить на съезд наш доклад «Фундаментальные проблемы теоретической механики», поэтому мы публикуем его фрагменты заочно, до начала работы съезда. Ниже – фрагмент, элементарно доказывающий средневековый уровень научного интеллекта членов оргкомитета РАН во главе с её президентом, награждённым орденом Александра Невского за «заслуги» в борьбе с «лжеучёными» (искателями научных истин), которые уже вошли в историю Отечества и науки как истинные патриоты Отечества и научных истин.

У Президента России одна возможность спасти себя от исторического позора по данному вопросу – отменить свой приказ о Награждении президента РАН Осипова Ю.С. орденом Александра Невского. Иначе, потомки будут потешаться над столь очевидной его ошибкой. Обилие экспериментальных научных результатов, убедительно доказывающих достоверность президентской ошибки, – в видеодокладе «Начало импульсной энергетики будущего» http://www.micro-world.su/ Уже очевидно, что Х Всероссийский съезд по фундаментальным проблемам теоретической и прикладной механики, экспертный совет которого отказался принять наши доклады по фундаментальным проблемам теоретической механики, – в стадии глобального исторического научного позора”.

Мы солидарны с профессором Ф.М.Канарёвым и присоединяем к его голосу свой голос протеста. Кажущаяся широта представленных в числе организаторов Съезда научных учреждений и имён обманчива и не может скрыть коварного замысла руководителей официальной науки провести под видом серьёзного научного Форума клановый «междусобойчик» с единственной целью прикрыть и увести главных виновников нынешнего плачевного состояния отечественной науки от давно заслуженного ими уголовного преследования, а в итоге вместо возрождения лишь продлить агонию того, что ещё сохранилось от некогда передовой в мире науки.

Литература

  1. И.З.Цехмистро, В.И.Штанько и др. «КОНЦЕПЦИЯ ЦЕЛОСТНОСТИ». – Харьков: Изд-во Харьковского гос. ун-та, 1987. http://psylib.org.ua/books/koncelo/txt01.htm.
  2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика: Учеб. пособ.: Для вузов. В 10 т. Т. I. Механика. – 5-е изд., стереот. – М.: Физматлит, 2004.
  3. Юдин С.Ю. Моделирование систем и оптимизация их параметров. - Волгоград:, 2003. Электронный вариант книги (http://ser.t-k.ru).
  4. Связь времён. Вып.3. – г. Березники, Изд.-инф. центр, 1996.
  5. Пуанкаре А. О науке. – М.: «Наука», 1990.
  6. Двайт Г.Б. Таблицы интегралов и другие математические формулы. – М.: «Наука», 1973. http://www.alleng.ru/d/math/math209.htm
  7. Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. – М.: Физматлит, 1995.
  8. Петров А.М. Заявка № 97111689/06 на изобретение “Способ получения и использования гравитационной энергии в форме движения рабочей машины, транспортного средства или летательного аппарата”, с приоритетом от 15 июля 1997 года (архив Роспатента).
  9. Петров А.М. Гравитационно-резонансные “вечные двигатели” в природе и технике: математическое описание, возможные технические решения для систем наземного и космического применения, расчёт эффективности. – М.: Компания Спутник+, 2001.
  10. Петров А.М. Гравитация: методологическая адекватность теории открывает доступ к новому виду энергии на практике. A.Pétrov. Gravitation: l’adéquation méthodologique de la théorie ouvre l’accès à la source énergétique nouvelle en pratique. – М.: Компания “Спутник+”, 2003.
  11. Петров А.М. Гравитация и кватернионный анализ. 2-е издание. – М.: Тип. “Наука”. 2005. – 48 с.
  12. Петров А.М. Открытое письмо учёным-математикам по поводу методологического кризиса теоретической физики. – Москва, Компания Спутник+, 2007.
  13. Петров А.М. АнтиЭйнштейн: Переворот в науке, произведённый г-ном Альбертом Эйнштейном. – М.: Компания Спутник+, 2008.
  14. Петров А.М. К проблеме аксиоматической адекватности описания движения в физическом пространстве. Методические заметки. – М.: Компания Спутник+, 2008.
  15. Петров А.М. К теории инерциоидов, гироскопов, вихрей и … perpetuum mobile. – М.: Компания Спутник+, 2009.
  16. Петров А.М. Реактивная динамика открытых систем (резонанс, вихреобразование, гироскопия, электромагнетизм). – М.: Издательство “Спутник +”, 2010. http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/10319.html

См. также статьи на Интернет-форумах

  1. Кризис теоретической физики: признаки, причины, виновники (частный взгляд со стороны на академическую и вузовскую науку) http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/
  2. Дефекты математической культуры теоретической физики http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/10890.html
  3. "Математическое безвременье" в отечественной науке http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/
  4. Апология науки прошлого и лженауки будущего http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,549.0.html
  5. Задача о вращающемся волчке: постановка, решение, приложения http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/
  6. Ab ovo или Ab hoc et ab hac? (ответ на статью “Ab Ovo или "... а Лагранж – против"”) http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/
  7. Практический смысл идейной борьбы в науке http://bolshoyforum.org/wiki/index.php/
  8. Кеплерова задача – критерий качества точных наукhttp://bolshoyforum.org/wiki/index.php/
  9. Безопорное движение и гравитационная энергетика: теория и эксперименты, подтверждающие их реальность http://www.sciteclibrary.ru/rus/catalog/pages/11134.html

Ссылки

  1. http://www.teoretmeh.ru/
  2. http://www.springer.com/978-3-540-36804-5
  3. http://ru.wikipedia.org/wiki/
  4. http://ser.t-k.ru/Stat/Princip/princip.html
  5. http://psylib.org.ua/books/koncelo/txt01.htm
  6. http://www.forum.za-nauku.ru/index.php/topic,231.60.html
  7. http://www.micro-world.su/
Личные инструменты